Differentialquotient

12.12.2021, 19:31

aylinxx

Differentialquotient

$\begin{eqnarray*} f(x) = { \,{\begin{cases}5x^2 \ \text{für} \ x \geq 0\\-5x^2 \ \text{für} \ x < 0\end{cases}}} \end{eqnarray*}$ .

Ableitung über den Differentialquotienten bestimmen.

Frage: Hier muss ich doch eine Fallunterscheidung machen? verwirrt

Mein Verständnisproblem hier ist, ob ich den Betrag von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nehmen muss, da mein $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. verwirrt

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_\limits{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_\limits{x \to |x_0|} \frac{f(x)-f(|x_0|)}{x-|x_0|} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank smile

12.12.2021, 19:54

Profimath

Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist offensichtlich falsch.

12.12.2021, 19:56

aylinxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mir leider nicht vorstellen, wie ich das sonst auf die Art machen muss. Könntest du mir bitte erklären, wieso es falsch ist?

12.12.2021, 19:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt zur Berechnung von $\begin{align*} f'(0) \end{align*}$ in der Tat eine Fallunterscheidung vornehmen: $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ . Diese Fallunterscheidung wirkt sich beim Differenzenquotienten aber nicht auf $\begin{align*} x \end{align*}$ aus, sondern auf $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ . Denn für $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ gibt es doch die beiden Fälle. (Man könnte höchstens die Fallunterscheidung bei $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ in $\begin{align*} |x| \end{align*}$ verstecken:

$\begin{align*} f(x) = 5x \cdot |x| \end{align*}$

Diese Formel gilt für alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ . Überleg einmal warum.)

12.12.2021, 20:08

aylinxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir erstmal für deine Zeit. smile

Ich glaube, dass ich mir vorstellen kann, wieso $\begin{eqnarray*} f(x) = 5x \cdot |x| \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn ich den Betrag auflöse, komme ich genau auf die Funktion, sogesehen hab ich für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) = 5x^2 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) = -5x^2 \end{eqnarray*}$ .

Eine Sache verstehe ich nicht ganz, wieso muss ich bei $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ eine Fallunterscheidung vornehmen. verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ tritt doch eigentlich der Fall ein, dass meine Funktion folgende Gestalt hat: $\begin{eqnarray*} f(x) = 5x^2 \end{eqnarray*}$ .

Sorry, falls das eine zu dumme Frage ist.

12.12.2021, 20:21

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von aylinxx
Eine Sache verstehe ich nicht ganz, wieso muss ich bei $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ eine Fallunterscheidung vornehmen. verwirrt

Deine Frage ist nicht dumm. Sie zeigt aber, daß du etwas Wesentliches nicht verstanden hast. Im Differenzenquotienten ist $\begin{align*} x \end{align*}$ niemals gleich $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ . Niemals! $\begin{align*} x \end{align*}$ ist ein Wert, der links oder rechts von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ liegt. Am besten stellt man sich $\begin{align*} x \end{align*}$ sehr nahe bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ vor. Dann berechnet man den Grenzwert des Differenzenquotienten, den man erhält, wenn man $\begin{align*} x \end{align*}$ auf $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ zugehen läßt.

In unserem Beispiel ist $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} f(0) = 0 \end{align*}$ . Hier gilt in der geteilten Definition von $\begin{align*} f \end{align*}$ tatsächlich nur der obere Teil: $\begin{align*} f(x) = 5x^2 \end{align*}$ für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ .
Im Differenzenquotienten

$\begin{align*} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \frac{f(x) - 0}{x - 0} = \frac{f(x)}{x} \end{align*}$

kommt jetzt aber ein $\begin{align*} x \end{align*}$ vor. Und dieses darf selbstverständlich nicht 0 sein. Niemals! Denn dann würde ja durch 0 geteilt werden, was nicht geht.

Jetzt berechne den Grenzwert in den beiden Fällen getrennt, einmal für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ und einmal für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ . Für $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ erhältst du einmal einen Grenzwert von links und einmal einen von rechts. Wenn die beiden übereinstimmen, dann hast du auch den Gesamtgrenzwert gefunden. Falls die Grenzwerte nicht übereinstimmen, dann ist $\begin{align*} f \end{align*}$ an der Stelle $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ gar nicht differenzierbar.

12.12.2021, 20:29

aylinxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah. Das leuchtet mir ein. Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} (1) \ \ \lim_\limits{x \nearrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_\limits{x \nearrow 0} \frac{-5x^2}{x}= -5x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \ \lim_\limits{x \searrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_\limits{x \searrow 0} \frac{5x^2}{x}= 5x = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dich richtig verstanden habe, habe ich damit gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Wie kann ich aber jetzt die Ableitung mit dem Differentialquotienten bestimmen? verwirrt

Edit: Also, ich meine, die allgemeine Ableitung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

12.12.2021, 20:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung! Nach dem vorletzten Gleichheitszeichen muß noch ein Limeszeichen vor den Term. Sonst ist das falsch! Ansonsten stimmt deine Rechnung.

Zitat:

Original von aylinxx
Wenn ich dich richtig verstanden habe, habe ich damit gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Wie kann ich aber jetzt die Ableitung mit dem Differentialquotienten bestimmen? verwirrt

Die hast du doch gerade bestimmt:

$\begin{align*} f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 0 \end{align*}$

Denn wenn die Limites von links und von rechts übereinstimmen, dann gibt es auch einen Gesamtlimes des Differenzenquotienten.

12.12.2021, 20:47

aylinxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für meine Unsauberkeit in der Formulierung. Also meine Frage zielte auf die allgemeine Ableitung ab, also für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich die allgemeine Ableitung bestimmen möchte, müsste ich das dann so machen:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{5x^2 - 5x_0^2}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{5 \cdot (x-x_0)(x+x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} (5 \cdot (x+x_0)) = 10x_0 \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) \ \ \lim_\limits{x \nearrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_\limits{x \nearrow 0} \frac{-5x^2}{x}= \lim_\limits{x \nearrow 0}-5x = 0<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \ \lim_\limits{x \searrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_\limits{x \searrow 0} \frac{5x^2}{x}= \lim_\limits{x \searrow 0}5x = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{-5x^2 + 5x_0^2}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{-5 \cdot (x-x_0)(x+x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} (-5 \cdot (x+x_0)) = -10x_0 \end{eqnarray*}$

Wäre das so valide? Oder geht's viel einfacher? verwirrt

12.12.2021, 20:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt gelöst. Nur eine kleine Anmerkung. Im Kontext solltest du in den Überschriften Fall 1/2/3 besser $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ statt $\begin{align*} x \end{align*}$ schreiben. Nach dem Ende der Rechnung kannst du in der Ergebniszusammenfassung $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ durch $\begin{align*} x \end{align*}$ ersetzen, da der Bezeichner $\begin{align*} x \end{align*}$ wieder frei ist.

12.12.2021, 20:54

aylinxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach ich. Vielen lieben Dank. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Differentialquotient

Verwandte Themen