Koordinate und Länge kurze Halbachse

14.12.2021, 12:54

mk3

Koordinate und Länge kurze Halbachse

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche schon seit längerer Zeit ein Problem zu lösen.

Ich habe folgendes gegeben:
- Eine Gerade mit der Gleichung y = m * x + t wobei m und t bekannt sind, die Gerade also fix im Raum positioniert ist. (alpha ist wegen m auch bekannt)
- Winkel Tau und Gerade r sind ebenfalls bekannt
- Die Länge b (Lange Halbachse einer Ellipse) ist bekannt

Gesucht ist:
- Der Punkt mit den Koordinaten x,y an dem die Ellipse tangential zur Geraden mit der Steigung m ist
- Die Länge der kurzen Halbachse a

Meine Ideen:
Ich habe es geschafft, dieses Problem zu lösen, wenn ich einen Kreis habe. Das Problem ist nun, da a und b nicht mehr gleich lang sind, steht die Strecke BC nicht mehr senkrecht auf der Geraden mit der Steigung m. Somit kann ich dieses Problem nicht lösen, da mir immer wieder egal was ich tue irgendeine Variable fehlt.

Im Anhang ist eine Skizze des Problems sowie mein aktueller Fortschritt meines Lösungsansatzes. Leider stecke ich fest und weiß nicht mehr welche Gleichungen ich noch definieren soll um die x,y Koordinaten des Tangentialpunktes zu finden. Aktuell fehlt mir der Winkel Beta und die Länge a, da beide unbekannt sind.

14.12.2021, 13:31

HAL 9000

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Die Lagebeschreibung der geometrischen Situation ist die blanke Katastrophe und kann nur mit "ungenügend" bezeichnet werden:

Aus der Skizze heraus kann man vage spekulieren, wo die erwähnte Ellipse zu verorten ist - sicher wissen kann man es nicht.

Die Sache wird auch nicht besser dadurch, dass du von "Raum" sprichst, obwohl sich hier doch alles anscheinend in der xy-Ebene abspielt.

EDIT: Wenn ich mal nicht die katastrophale Beschreibung, sondern die Skizze als Grundlage nehme, dann ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ wohl keine Gerade, sondern die Entfernung der Ellipse vom Ursprung.

Das beste wird aber sein, dass du die Aufgabenstellung im Original-Wortlaut - falls es die gibt - hier einfach mal in den Thread postest.

14.12.2021, 13:51

mk3

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Hallo, dass meine Problembeschreibung nicht vernünftig rübergekommen ist tut mir selbstverständlich Leid. Es gibt hier keine "Original"-Aufgabenstellung. Geben Sie mir bitte ca. 30 Minuten und ich werde versuchen den Post besser verständlich aufzubereiten.

14.12.2021, 14:06

mk3

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Leider kann ich meinen ursprünglichen Post nicht mehr editieren, weil ich zum Erstellzeitpunkt noch nicht registriert war.

Daher hänge ich hier das überarbeitete Bild an. In diesem ist nun zusätzlich die Ellipse eingezeichnet.

Weitere Änderungen zum Original-Post:
- Die Gerade mit der Steigung m (Gleichung y = m*x+t) ist fix in der Ebene positioniert (da Variablen t und m gegeben)
- r ist keine Gerade sondern ein gegebener Abstand, jedoch nicht die Entfernung der Ellipse zum Ursprung sondern der Punkt an dem die kurze Halbachse der Ellipse anschließt. Der Mittelpunkt der Ellipse ist unbekannt und im Punkt C (siehe Skizze)

Gesucht ist trotzdem:
- xy Koordinate des Tangentialpunktes (also gelbe Strecke x und y, wobei y = m*x+t)
- kurze Halbachse der Ellipse a

Die Formeln im ursprünglichen Post haben weiter ihre Richtigkeit und dienen als Grundlage zu meinem Problem bei dem ich jedoch nicht weiterkomme.

18.12.2021, 11:35

riwe

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wenn wie in deinem Bilderl r senkrecht auf b steht, steht einer (numerischen) Lösung nix im Wege

18.12.2021, 22:45

mk3

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Vielen Dank für die Antwort.

b steht in der Tat immer senkrecht auf r.

Könnten Sie bitte einen Hinweis auf die Lösung geben?

Ich habe mir extra die Mühe gemacht im ursprünglichen Post meine Gedanken zu teilen und meinen Lösungsweg und Fortschritt mit angegeben aber noch kein Feedack dazu erhalten.

Grüße
mk3

19.12.2021, 11:11

riwe

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Zitat:

Original von mk3
Vielen Dank für die Antwort.

b steht in der Tat immer senkrecht auf r.

Könnten Sie bitte einen Hinweis auf die Lösung geben?

Ich habe mir extra die Mühe gemacht im ursprünglichen Post meine Gedanken zu teilen und meinen Lösungsweg und Fortschritt mit angegeben aber noch kein Feedack dazu erhalten.

Grüße
mk3

gerne, wir sind hier per du!

zunächst: ein alter Gaul ....., daher:

Gleichung der Geraden $\begin{eqnarray*} g: y = mx + n \end{eqnarray*}$

große Halbachse der Ellipse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , kleine $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ :

wir suchen also $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und die Koordinaten des Berührpunktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$

gegeben sind: die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , der Winkel $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und die Länge $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sowie die große Halbachse der Ellipse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Mein Weg: zunächst drehe ich das ganze Klump um den Winkel $\begin{eqnarray*} \pi -\tau \end{eqnarray*}$ , damit hast du folgende 3 Gleichungen

1) $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-(b+r))^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a^2}+\frac{(y-(b+r)}{b^2}\cdot m^\prime=0 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} y=m^\prime\cdot x+n^\prime \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m^\prime, n^\prime \end{eqnarray*}$ sind die entsprechenden Werte von $\begin{eqnarray*} g^\prime \end{eqnarray*}$ im gedrehten System

damit bekommt man (ganz überraschend), die Stricherl lasse ich hier weg,
du mußt sie aber berücksichtigen:

$\begin{eqnarray*} b=\frac{a^2*m^2-(n-r)^2}{2*(r-n)} \end{eqnarray*}$

ok oder noch Hilfe nötig.

eine Bitte an die Mods: kann wer mein Latex verbessern, ist halt schon sehr, sehr lange her, Danke

Edit by IfindU: Etwas schicker find ichs so.

19.12.2021, 13:29

Bürgi

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Guten Tag,

@riwe:
Ich bin kein Mod - aber ich habe ebenfalls manchmal Probleme mit LaTeX. Nun weiß ich nicht, was du an deinem LaTeX verbessern willst ... ? Bei mir läuft aber im Hintergrund immer mit:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX

Meistens ganz hilfreich

Noch einen schönen Restadvent

19.12.2021, 13:40

riwe

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@hallo Bürgi
zum Latex: der Text scheint mir verbesserungsfähig und - würdig Augenzwinkern

auch dir einen schönen Rest und ein schönes Fest!
und vor allem Gesundheit!
werner

19.12.2021, 16:54

Bürgi

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@riwe
Danke für die guten Wünsche - nehme ich gern.

Ich gehe davon aus, dass du diese Textpassage gemeint hattest , die mittlerweile IfindU in den normalen Fließtext verschoben hat:

Fließtext: damit hast du folgende 3 Gleichungen

In LaTeX: $\begin{eqnarray*} damit hast du folgende 3 Gleichungen \end{eqnarray*}$

aus \text{damit hast du folgende 3 Gleichungen}

wird $\begin{eqnarray*} \text{damit hast du folgende 3 Gleichungen} \end{eqnarray*}$

..... wenn es das gewesen ist, was du verbessern wolltest.

19.12.2021, 17:19

riwe

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ja genau,
danke euch beiden
werner

19.12.2021, 20:32

mk3

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Vielen Dank nochmal für die Antwort.

Zu Gl. 1:
Gleichung der Ellipse und da $\begin{eqnarray*} b+r \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt der Ellipse in y ist, ist diese Gleichung nachvollziehbar.

Zu Gl. 2:
Bekomme ich dazu noch eine kurze Erklärung? Die Gleichung verstehe ich nicht so ganz ehrlich gesagt.

Zu Gl. 3:
Drehen kann ich eine Koordinate ganze einfach mit Rotation um z also:

$\begin{eqnarray*} x'= x*cos(\theta)-y*sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= x*sin(\theta)+y*cos(\theta) \end{eqnarray*}$

Heißt ich müsste erst zwei bekannte xy Koordinaten der Geraden rotieren und dann daraus eine neue Steigung und Achsenabschnitt bestimmen?

Ich nehme an, dass mein Ansatz dann zu kompliziert ist, wenn ich das gleich im rotierten System betrachten möchte?

Mfg,
mk3

19.12.2021, 21:01

riwe

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zu 2) das folgt durch (impliziertes) Differenzieren von (1), da g Tangente an die Ellipse ist,
gilt y´= m (bzw. m´im gedrehten System).

Rest ok Freude

die letzte Frage verstehe ich nicht

20.12.2021, 08:25

mk3

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Gut, nun komme ich auch auf diese Gleichung.

Ich muss das mal bis Mittwoch an meinem Beispiel testen und werde mich bis Mittwoch hier nochmal melden ob der Test erfolgreich geklappt hat. Ist aber soweit nachvollziehbar und ich denke das sollte klappen.

Die letzte Frage bezog sich auf meinen ersten Post in diesem Thread. Dort habe ich noch ein Bild meiner Herleitung angehängt (Formeln) und beschrieben, dass ich nicht weiterkomme. Das Vorgehen nun ist ja ein anderer Ansatz. Falls es funktioniert ist dieser deutlich einfacher. Trotzdem würde mich interessieren, ob es möglich wäre mit meinem ursprünglichen Ansatz zum Ziel zu kommen.

Ich melde mich.

Vielen Dank für die Erklärung.

20.12.2021, 11:24

werner

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bei mir klappt´s bestens
vielleicht eine kleine Hilfe

22.12.2021, 09:28

mk3

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Hallo,

Nun konnte ich mir das nochmal in Ruhe anschauen. Es klappt soweit. Ich komme ebenfalls auf die richtige Lösung. Vielen Dank.

Schöne Weihnachtsfeiertage

mk3

11.02.2022, 10:41

mk3

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Hallo,

ich habe nochmal eine aktuelle Nachfrage zu dem Thema.

Das vorgehen funktioniert bei mir super, wenn ich weiß um welchen Winkel ( $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ) ich die Gerade zurückdrehen muss. Hier kann ich dann entweder bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ die große oder kleine Halbachse berechnen. (siehe Lösung von riwe)

Ich habe aber nun das Problem, dass ich in einem anderen Fall a und b gegeben habe und das $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ nicht kenne. Ich dachte ursprünglich ich kann einfach für eine gegebene Gerade (Steigung + Achsenabschnitt) die Punkte mit der gleichen Steigung auf der Ellipse suchen. Das Problem ist aber, dass die Gerade im gedrehten Zustand vorliegt. Ich müsste also hier den Tangentialpunkt finden von einer fixen Gerade im Raum und einer Ellipse die sich um den Ursprung drehen kann. Der Drehwinkel ist unbekannt.

Hab versucht die Gleichung von riwe als Grundlage zu nehmen und einmal nach a und einmal nach b aufzulösen weil ich ja beides kenne und wollte damit dann die Unbekannten t' und m' im zurückgedrehten System berechnen komme aber als m' dann auf a/b was definitiv nicht stimmt...

Kann jemand erklären, was ich da von meiner Betrachtung falsch mache?

Grüße,
mk3

11.02.2022, 13:53

HAL 9000

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Ok, aufbauend auf diese klare Charakterisierung

Zitat:

Original von riwe
wir suchen also $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und die Koordinaten des Berührpunktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$

gegeben sind: die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , der Winkel $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ und die Länge $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sowie die große Halbachse der Ellipse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

geht es nun also um dieselbe geometrische Konstellation, aber mit

Zitat:

wir suchen Winkel $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ und die Koordinaten des Berührpunktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$

gegeben sind: die Gerade $\begin{eqnarray*} g=mx+t \end{eqnarray*}$ , die Länge $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sowie die beiden Halbachsen der Ellipse $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

Bezugnehmend auf deine Skizze vom 14.12.2021 14:06 würde ich so vorgehen:

Wir drehen und verschieben das Koordinatensystem in der Weise, dass das neues $\begin{eqnarray*} (x',y') \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem mit $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ -Achse entlang $\begin{eqnarray*} OC \end{eqnarray*}$ verläuft und zwar mit neuem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . In der Umrechnung bedeutet diese Drehung um $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ für die alten Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} x = (x'+a+r)\cos(\tau) - y'\sin(\tau) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = (x'+a+r)\sin(\tau) + y'\cos(\tau) \end{eqnarray*}$

In die Gerade $\begin{eqnarray*} y = mx+t \end{eqnarray*}$ eingesetzt und umgestellt bedeutet das

$\begin{eqnarray*} (x'+a+r)(\sin(\tau)-m\cos(\tau)) + y'(\cos(\tau)+m\sin(\tau)) = t\qquad (1) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. mit Anstieg $\begin{eqnarray*} m' = -\frac{\sin(\tau)-m\cos(\tau)}{\cos(\tau)+m\sin(\tau)} \end{eqnarray*}$ im neuen Koordinatensystem. Die Ellipse besitzt hier die einfache Darstellung

$\begin{eqnarray*} \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} = 1\qquad (2) \end{eqnarray*}$

mit Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{2x'}{a^2} + \frac{2y'}{b^2}\frac{\dd y'}{\dd x'} = 0 \end{eqnarray*}$ . Im Tangentenpunkt muss Anstieg $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y'}{\dd x'}=m' \end{eqnarray*}$ herrschen, d.h., für diesen Tangentenpunkt muss dann gelten

$\begin{eqnarray*} \frac{x'}{a^2}(\cos(\tau)+m\sin(\tau)) - \frac{y'}{b^2}(\sin(\tau)-m\cos(\tau)) = 0\qquad (3) \end{eqnarray*}$

(1)(3) ist ein lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} x',y' \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von Parameter $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ . Die Lösung in (2) eingesetzt ergibt dann eine (allem Anschein nach) ziemlich üble Bestimmungsgleichung für $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ :

Wenn ich das richtig überblicke endet das in einer Gleichung vierten Grades (!) für die Variable $\begin{eqnarray*} \cos(\tau) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sin(\tau) \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet entweder Näherungsverfahren, oder du machst dich schon mal damit vertraut. Augenzwinkern

11.02.2022, 14:28

mk3

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Hi,

ich bin überrascht wie einfach das aus der Pistole geschossen gekommen ist. Ich konnte es nachvollziehen und habe nun einen ewig langen Ausdruck wenn ich das in Gleichung (2) einsetze.

Wenn ich das nun in Mathcad mit dem Newton Verfahren löse finde ich den von mir erwarteten Winkel (natürlich nur weil ich einen Startwert in der Nähe gewählt habe). Über einen leicht modifizierten Ansatz (ohne die Neudefinition des Koordinatensystems) bin ich auch auf einen ähnlichen langen Ausdruck gekommen den ich nur numerisch lösen konnte.

Ich frage mich nur warum wenn ich $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ gegeben habe, die Gleichungen analytisch noch greifbar und einfach nachzuvollziehen sind und sobald ich andere Vorgaben habe, sich am Problem aber nichts ändert es zu solch langen ausdrücken kommt. Ich habe die Hoffnung nach deinem Post fast aufgegeben auf einen "normalen" Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ zu kommen. Hatte die Hoffnung ich bekomme was in der Form $\begin{eqnarray*} A*cos(\tau) + B*sin(\tau)=C \end{eqnarray*}$ was noch analytisch gelöst werden könnte (Stichwort: compound angle transformation) aber das sehe ich bei solch einem Ausdruck ehrlich gesagt nicht.

Den Hinweis mit der Quartischen Gleichung, verstehe aber nicht so ganz wobei mir das konkret helfen soll bei der Lösung nach $\begin{eqnarray*} tau \end{eqnarray*}$ ?

Grüße,
mk3

11.02.2022, 14:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von mk3
Den Hinweis mit der Quartischen Gleichung, verstehe aber nicht so ganz wobei mir das konkret helfen soll bei der Lösung nach $\begin{eqnarray*} tau \end{eqnarray*}$ ?

Na wenn du für $\begin{eqnarray*} z=\cos(\tau) \end{eqnarray*}$ die Quartische Gleichung $\begin{eqnarray*} a_4z^4+a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0 \end{eqnarray*}$ aufstellen kannst, (wobei diese Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0,\ldots,a_4 \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} a,b,r,m,t \end{eqnarray*}$ abhängen), dann kannst du diese Gleichung explizit lösen mit den Formeln im verlinkten Beitrag. Anschließend suchst du unter den vier Lösungen diejenigen raus, die reell sind und $\begin{eqnarray*} -1\leq z\leq 1 \end{eqnarray*}$ erfüllen, und bei denen kannst du dann rücksubstituieren $\begin{eqnarray*} \tau = \pm\arccos(z) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von mk3
Hatte die Hoffnung ich bekomme was in der Form $\begin{eqnarray*} A*cos(\tau) + B*sin(\tau)=C \end{eqnarray*}$

Schön wäre es, aber dass es so einfach wird, war von Anfang an hoffnungslos: Das klappt vielleicht noch beim Kreis, aber nie und nimmer bei einer "echten" Ellipse.

11.02.2022, 15:36

mk3

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Vom Prinzip her habe ich das verstanden, die Umsetzung erscheint mir aber gerade nicht wirklich möglich.

Zur Vereinfachung stelle ich mal meinen Ausdruck den ich habe als Bild zur Verfügung. Das abzutippen dauert mir gerade zu lange. Wenn ich hier den richtigen Startwert wähle finde ich den richtigen Winkel bedeutet also die Gleichung an sich ist korrekt.

Du hattest geschrieben $\begin{eqnarray*} z=cos(\tau) \end{eqnarray*}$ . Da der cos sowohl im Zähler als auch im Nenner steht komme ich doch gar nicht auf diese Form? Außerdem habe ich ja nicht nur ein $\begin{eqnarray*} cos(\tau) \end{eqnarray*}$ sondern auch ein $\begin{eqnarray*} sin(\tau) \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube das geht weit über mein Verständnis hinaus. Ich habe schon versucht die $\begin{eqnarray*} cos(\tau) \end{eqnarray*}$ Ausdrücke zu sammeln aber leider ohne Erfolg.

11.02.2022, 16:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von mk3
Da der cos sowohl im Zähler als auch im Nenner steht komme ich doch gar nicht auf diese Form?

Naja, da ist schon noch etwas Umformungsarbeit notwendig - ich hab nicht gesagt, dass einem die gebratenen Tauben in den Mund fliegen!!! Wenn man all die Brüche auflöst, kommt man auf eine Struktur der Form

$\begin{eqnarray*} c_2\cos^2(\tau) + c_1\cos(\tau) + c_0 = \left(d_1\cos(\tau)+d_0\right)\sin(\tau) \end{eqnarray*}$

Die quadriert und rechts dann $\begin{eqnarray*} \sin^2(\tau) = 1-\cos^2(\tau) \end{eqnarray*}$ eingesetzt kommt man zu

$\begin{eqnarray*} \left( c_2\cos^2(\tau) + c_1\cos(\tau) + c_0\right)^2 = \left(d_1\cos(\tau)+d_0\right)^2\cdot \left(1-\cos^2(\tau)\right) \end{eqnarray*}$ ,

was mit $\begin{eqnarray*} z=\cos(\tau) \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \left( c_2z^2 + c_1z + c_0\right)^2 - \left(d_1z+d_0\right)^2\cdot \left(1-z^2\right) = 0 \end{eqnarray*}$

führt. Und das alles ausmultipliziert führt dann zu der erwähnten Gleichung vierten Grades.

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Ok, da du ja vermutlich sowieso keine Ruhe gibst, unterwerfe ich mich nochmal der Tortur: Damit das ganze nicht in eine allzu schlimme Termorgie ausartet, nehme ich temporär ein paar Abkürzungen für häufig benötigte Terme vor:

$\begin{eqnarray*} u := (\cos(\tau)+m\sin(\tau)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v := (\sin(\tau)-m\cos(\tau)) \end{eqnarray*}$

Dann lauten die obigen Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (x'+a+r)v + y'u = t\qquad (1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} = 1\qquad (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x'}{a^2} u - \frac{y'}{b^2} v = 0\qquad (3) \end{eqnarray*}$

Letztere Gleichung kann umgeformt werden zu $\begin{eqnarray*} y' = x' \frac{b^2 u}{a^2 v} \end{eqnarray*}$ , was in (1) eingesetzt und umgeformt
$\begin{eqnarray*} x' = a^2 v \frac{t-(a+r)v}{a^2 v^2 + b^2 u^2} \end{eqnarray*}$ und in der Folge dann $\begin{eqnarray*} y' = b^2 u \frac{t-(a+r)v}{a^2 v^2 + b^2 u^2} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Das bringt uns zu einer weiteren temporären Abkürzung $\begin{eqnarray*} w:=\frac{t-(a+r)v}{a^2 v^2 + b^2 u^2} \end{eqnarray*}$ , mit der wir $\begin{eqnarray*} x' = a^2 v w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' = b^2 u w \end{eqnarray*}$ schreiben dürfen. Das nun in (2) eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} (a^2 v^2 + b^2 u^2) w^2 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun gleich wieder $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ eingesetzt gelangt man zu

$\begin{eqnarray*} \left(t-(a+r)v\right)^2 = a^2 v^2 + b^2 u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2 - 2t(a+r)v + (a+r)^2v^2 = a^2 v^2 + b^2 u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2 + (2a+r)r v^2 - b^2 u^2 = 2t(a+r)v \end{eqnarray*}$

So, und nun schließlich doch $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ von oben wieder einsetzen:

$\begin{eqnarray*} t^2 + (2a+r)r (\sin^2(\tau)-2m\sin(\tau)\cos(\tau)+m^2\cos^2(\tau)) - b^2 (\cos^2(\tau)+2m\sin(\tau)\cos(\tau)+m^2\sin^2(\tau)) = 2t(a+r)(\sin(\tau)-m\cos(\tau)) \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} \sin^2(\tau) = 1-\cos^2(\tau) \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} t^2 + (2a+r)r (1-\cos^2(\tau)-2m\sin(\tau)\cos(\tau)+m^2\cos^2(\tau)) - b^2 (\cos^2(\tau)+2m\sin(\tau)\cos(\tau)+m^2(1-\cos^2(\tau))) = 2t(a+r)(\sin(\tau)-m\cos(\tau)) \end{eqnarray*}$

Jetzt sortieren: Alles mit Sinus nach rechts, der Rest nach links

$\begin{eqnarray*} t^2 + (2a+r)r (1-\cos^2(\tau)+m^2\cos^2(\tau)) - b^2 (\cos^2(\tau)+m^2(1-\cos^2(\tau))) 2t(a+r)m\cos(\tau) = 2t(a+r)\sin(\tau) + 2m(2a+r)r\sin(\tau)\cos(\tau) + 2mb^2\sin(\tau)\cos(\tau) \end{eqnarray*}$

Nun noch nach Kosinuspotenzen gruppieren:

$\begin{eqnarray*} (m^2-1)\left((2a+r)r + b^2\right)\cos^2(\tau)+ 2tm(a+r)\cos(\tau) + t^2 + (2a+r)r - m^2b^2 = \left[ 2m\left((2a+r)r + b^2\right)\cos(\tau) + 2t(a+r) \right] \sin(\tau) \end{eqnarray*}$

Das ganze ohne Gewähr: Womöglich hat sich hier und da ein Vorzeichenfehler eingeschlichen; ein verirrter oder fehlender Faktor irgendwo kann auch gut möglich sein.

11.02.2022, 20:24

mk3

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Wow... Erstmal vielen Dank für die Erklärung und die Ausführung. Ich werde mal auf jeden Fall das Wochenende über brauchen um das nachzuvollziehen und melde mich aber definitiv nochmal. Auf den ersten Blick verstehe ich noch nicht alles aber das bekomme ich schon hin. Vielen Dank für diesen Input. Ich melde mich.

15.02.2022, 10:04

mk3

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Hallo Nochmal,

ich habe es tatsächlich geschafft die 4 Nullstellen über die quardische Gleichung zu finden. Vielen Dank für diese ausgezeichnete Hilfe, ich konnte so viel neues lernen.

Grüße,
mk3

15.02.2022, 10:46

HAL 9000

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Hast dich echt durch die Lösungsformeln der quartischen Gleichung gequält? Gratulation für dein Durchhaltevermögen. Respekt

Eins will ich noch anmerken: Durch die Quadrierung von

$\begin{eqnarray*} (m^2-1)\left((2a+r)r + b^2\right)\cos^2(\tau)+ 2tm(a+r)\cos(\tau) + t^2 + (2a+r)r - m^2b^2 = \left[ 2m\left((2a+r)r + b^2\right)\cos(\tau) + 2t(a+r) \right] \sin(\tau)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

kurz vor Schluss handelt man sich Scheinlösungen ein, die man aber rasch identifizieren kann: Für $\begin{eqnarray*} z\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ ergibt die Rücksubstitution von $\begin{eqnarray*} z=\cos(\tau) \end{eqnarray*}$ ja i.a. zwei Winkel im Grundintervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \tau_1 = \arccos(\tau) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \tau_2 = -\tau_1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist dann $\begin{eqnarray*} \sin(\tau_2) = -\sin(\tau_1) \end{eqnarray*}$ , d.h. beide Winkel in (*) eingesetzt ergibt für die linke Seite beidesmal den gleichen Wert, während die rechte Seite von $\begin{eqnarray*} \tau_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \tau_2 \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen wechselt. D.h., außer im Wertefall 0 passt dann nur für genau einen der beiden Werte $\begin{eqnarray*} \tau_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \tau_2 \end{eqnarray*}$ diese rechte Seite, der andere Wert ist dann eben nur eine Scheinlösung.

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