Erwartungstreue (Poissonverteilung unbekanntes Lambda)

14.12.2021, 14:55

CourtJester

Erwartungstreue (Poissonverteilung unbekanntes Lambda)

Meine Frage:
Betrachten Sie unabhängige X1, . . . , Xn mit Po(Lambda)-Verteilung, wobei Lambda komplett unbekannt ist. Ist die Schätzfolge (Tn) definiert durch Tn(X1, . . . ,Xn) = $\begin{eqnarray*} (1/n-1)*\sum\limits_{i=1}^{n} Xi \end{eqnarray*}$

a) erwartungstreu für Lambda??
b) asymptotisch erwartungstreu für Lambda??

Meine Ideen:
Es würde schon ein kleiner Denk Anstoß wahrscheinlich helfen, leider weiß ich momentan nicht genau wie ich, ohne weder Lambda noch n zu kennen, herauszufinden soll ob der Schätzer erwartungstreu ist.

14.12.2021, 15:01

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (1/n-1) = \left(\frac{1}{n}-1\right) \end{eqnarray*}$ macht inhaltlich nicht den geringsten Sinn. Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} 1/(n-1) = \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

(Auch wenn ich diese Frage schon zigmal gestellt habe: Wer zum Teufel bringt so vielen Leuten diese falsche Klammersetzung bei? unglücklich

)

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Der Erwartungswert einer $\begin{eqnarray*} \operatorname{Po}(\lambda) \end{eqnarray*}$ -verteilten Zufallsgröße ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Somit gilt

$\begin{eqnarray*} E\left(T_n\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n E\left(X_i\right) = = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \lambda = \frac{n}{n-1}\lambda \end{eqnarray*}$ .

a) Erwartungstreu für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erfordert $\begin{eqnarray*} E\left(T_n\right) \stackrel{!}{=}\lambda \end{eqnarray*}$ , womit die Entscheidung hier lautet: ...

b) Asymptotisch erwartungstreu erfordert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} E\left(T_n\right) \stackrel{!}{=}\lambda \end{eqnarray*}$ , womit die Entscheidung hier lautet: ...

P.S.: Der Becher mit dem Fächer enthält den Wein gut und rein... tolle Szene. Big Laugh

14.12.2021, 15:29

CourtJester

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Wenn ich das jetzt richtig verstehe, muss ich für die a ein n finden für welches E(Tn) = Lambda ist, oder es ist nicht Erwartungstreu, oder ?

14.12.2021, 16:07

CourtJester

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Oder stehe ich gerade auf dem Schlauch?
Was anderes würde mir gerade leider nämlich nicht einfallen!

14.12.2021, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von CourtJester
Wenn ich das jetzt richtig verstehe, muss ich für die a ein n finden für welches E(Tn) = Lambda ist, oder es ist nicht Erwartungstreu, oder ?

Sagen wir es so: Für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , wo Gleichheit herrscht, gilt die Erwartungstreue.

Findest du denn so ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? (Selbstverständlich kann man von $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ ausgehen, d.h., muss sich nicht mit dem Fall $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ abgeben - das nur als Wink mit dem Zaunpfahl...)

14.12.2021, 16:25

CourtJester

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Na ja, wenn ich n=0 setze, wäre die Gleichung theoretisch erfüllt! Kann ich also sagen, dass die Schätzung Erwartungstreu ist unter der Voraussetzung, dass n = 0?

14.12.2021, 16:43

HAL 9000

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Eine Stichprobe vom Umfang n=0 ... bitte ernsthaft bleiben. Augenzwinkern

Abgesehen davon stimmt auch die Gleichheit für n=0 NICHT.

14.12.2021, 16:52

CourtJester

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Ja, da hast du wohl leider recht !
Könntest du mir vielleicht nochmal einen Tipp geben !

14.12.2021, 16:54

HAL 9000

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Kurz und knapp: Für kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt Gleichheit, d.h., dieser Schätzer $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ist nie erwartungstreu.

14.12.2021, 17:11

CourtJester

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Da asymptotische Erwartungstreue schwächer ist, also
jede Erwartungstreue Folge auch asymptotisch Erwartungstreu ist, müsste die b doch dann auch asymptotisch untreu sein, da auch hier für kein n Gleichheit gillt, oder ?

14.12.2021, 17:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
b) Asymptotisch erwartungstreu erfordert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} E\left(T_n\right) \stackrel{!}{=}\lambda \end{eqnarray*}$

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