Nullstellen einer trigonometrischen Funktion

15.12.2021, 12:15	Bisi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen einer trigonometrischen Funktion Meine Frage: Hallo liebes matheboard-Forum. Oft habe ich hier schon nützliche Antworten auf meine Fragen gefunden und nun ist es soweit, dass ich selbst mal eine Frage zu einer sehr speziellen Aufgabenstellung habe. Im Zuge meiner Masterarbeit im Bereich Robotik bin ich auf eine Funktion der Form $\begin{eqnarray} <br /> f(q)=a_1\cos^4(q)+(a_2\sin(q)+a_3)\cos^3(q)+(a_4\sin(q)+a_5)\cos^3(q)+(a6 \sin(q)+a_7)\cos(q)+a_8\sin(q)+a_9<br /> \end{eqnarray}$ gestoßen. Mir stellt sich nun die Frage, ob es eine Möglichkeit gibt, die Nullstellen einer solchen Funktion noch analytisch anzugeben. Die Parameter $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ sind rein reell. Bin gespannt, ob hier irgendwer Ideen hat und freue mich über jeden Input und über Hilfestellungen. LG Tobi Meine Ideen: Mir fehlt da zurzeit noch jede Idee. Ich hab's schon mit ein paar Additionstheoreme versucht, bin aber noch nicht annähernd auf eine Form gekommen, die ich substituieren und anschließend lösen könnte.
15.12.2021, 12:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Nullstellen muss gelten $\begin{eqnarray} a_1\cos^4(q)+a_3\cos^3(q)+a_5\cos^2(q)+a_7\cos(q)+a_9 = -\sin(q)\left(a_2\cos^3(q)+a_4\cos^2(q)+a_6\cos(q)+a_8\right) \end{eqnarray}$ , was nach Quadrierung und Substitution $\begin{eqnarray} x=\cos(q) \end{eqnarray}$ zur algebraischen Gleichung 8.Grades $\begin{eqnarray} \left(a_1x^4+a_3x^3+a_5x^2+a_7x+a_9\right)^2 = \left(1-x^2\right)\left(a_2x^3+a_4x^2+a_6x+a_8\right)^2 \end{eqnarray}$ . führt. Nun sind die i.a. auch nur numerisch zu knacken, daher besteht die berechtigte Frage, ob man diese Substitution überhaupt durchführen sollte. P.S.: Ich bin davon ausgegangen, dass du $\begin{eqnarray} f(q) = a_1\cos^4(q) + (a_2\sin(q)+a_3)\cos^3(q) + (a_4\sin(q)+a_5)\cos^2(q) + (a_6\sin(q)+a_7)\cos(q) + a_8\sin(q) + a_9 \end{eqnarray}$ meinst statt der obigen Darstellung, in der anscheinend ein paar Schreibfehler sind.
15.12.2021, 13:37	Bisi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, dass ist doch schon mal ein Anfang, danke dafür! Wie schon von dir angemerkt, bleibt jetzt "nur" noch das Lösen des Polynoms 8. Grades. Immerhin kann ich jetzt den Lösungsweg von Maple nachvollziehen. Daraus resultieren somit aber 16 (teils komplexe) Lösungen, wobei nur max. 4 reelle davon physikalisch erklärbar sind (zwischen 0 und 2pi). Soweit ich das jetzt einschätzen kann, ist das Problem einfach zu kompliziert um es auf einem analytischen Weg zu lösen. Dann bleibt mir nur die Möglichkeit, einen anderen geometrischen Zusammenhang zu finden, der auf eine "einfachere" Gleichung führt. - Da bin ich eher skeptisch, dass es einfacher möglich ist. Oder ich muss das Problem einfach irgendwie umgehen. P.S. Ja da hast du vollkommen recht. Danke für die richtige Interpretation meiner falschen Angabe. Da hab ich wohl zu schnell auf erstellen geklickt bzw. hätte mir das vorher genauer anschauen müssen. danke nochmal! LG Tobias
15.12.2021, 14:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte noch einen Vorzeichenfehler drin, der aber nach dem Quadrieren glücklicherweise sowieso verschwunden ist... Hab es aber trotzdem oben noch korrigiert, Ordnung muss sein. Außerdem muss man des Quadrierens wegen auch auf die Scheinlösungen aufpassen: Der von mir oben skizzierte Weg ermittelt nämlich unvermeidlich als Scheinlösungen auch die Nullstellen der anderen Funktion $\begin{eqnarray} g(q) = a_1\cos^4(q) + (-a_2\sin(q)+a_3)\cos^3(q) + (-a_4\sin(q)+a_5)\cos^2(q) + (-a_6\sin(q)+a_7)\cos(q) - a_8\sin(q) + a_9 \end{eqnarray}$ .

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