ln'(2) ohne Ableitung oder L'Hospital bestimmen

16.12.2021, 10:49

Abc008

ln'(2) ohne Ableitung oder L'Hospital bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
wir sollen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} \frac{ln(x)-ln(2)}{x-2} \end{eqnarray*}$ bestimmen, ohne die Ableitung oder LHospital zu verwenden. Ich komme nicht drauf? Kann mir bitte jemand einen Tipp geben? Es muss ja 1/2 sein.

Meine Ideen:
Ich habe versucht jeweils Zähler und Nenner e hoch das zu nehmen aber da würde dann 1 rauskommen, was natürlich falsch ist.

LaTeX-End-Tag repariert. Steffen

16.12.2021, 11:03

HAL 9000

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"ohne die Ableitung oder LHospital" ... da stellt sich zuvorderst die Frage, welche Eigenschaften des natürlichen Logarithmus du dann denn ÜBERHAUPT verwenden darfst.

Oder fragen wir zunächst so: Wie habt ihr den natürlichen Logarithmus denn definiert?

16.12.2021, 11:23

abc008

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Ohne Ableitung und Lhospital
ln(x) war bei uns die Umkehrfkt. von exp(x). Mehr gab es dazu nicht….

16.12.2021, 11:37

Leopold

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Der Term ist offensichtlich der Differenzenquotient der Logarithmusfunktion $\begin{align*} f(x) = \ln(x) \end{align*}$ an der Stelle 2. Sein Limes für $\begin{align*} x \to 2 \end{align*}$ ist die Ableitung der Logarithmusfunktion an der Stelle 2. Dieser Wert entspricht der Steigung einer Tangenten an den Graphen der Logarithmusfunktion im Punkt $\begin{align*} P = \left( 2 , \ln(2) \right) \end{align*}$ .
Eine Spiegelung an der Geraden $\begin{align*} y=x \end{align*}$ übersetzt das Ganze in eine Fragestellung für die Exponentialfunktion $\begin{align*} g(x) = \operatorname{e}^x \end{align*}$ . Du kannst daher die Tangentensteigung der Exponentialfunktion im Bildpunkt $\begin{align*} P' \end{align*}$ von $\begin{align*} P \end{align*}$ bei dieser Spiegelung berechnen und mußt nur überlegen, was bei der Zurückspiegelung mit einem Steigungsdreieck der Tangenten passiert.

Das war eine sehr anschauliche Erklärung. Natürlich kann der Differenzenquotient mittels der Substitution $\begin{align*} x = \operatorname{e}^t \end{align*}$ auch direkt in die Exponentialsprache übersetzt werden.

16.12.2021, 12:18

abc008

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ln'(2) ohne Ableitung
Vielen Dank erstmal. Für P (2, ln(2)) auf der Logarithmusfunktion ist P' (ln(2), 2) auf der Exponentialfunktion.

Variante 1: Ich gehe über die Exponentialfunktion und bestimme $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to ln(2)} \frac{e^{x} - e^{ln(2)} }{x-ln(2)} = \lim_{x \to ln(2)} \frac{e^{x} -2 }{x-ln(2)} \end{eqnarray*}$ Da bin ich genauso weit wie vorher, weil der Zähler und der Nenner beide gegen 0 gehen...

Variante 2: Ich ersetze $\begin{eqnarray*} x \to e^{t} \end{eqnarray*}$ und erhalte $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to ln(2)} \frac{ln(e^{t}) - ln(2) }{e^{t} -2} = \lim_{t \to ln(2)} \frac{t - ln(2) }{e^{t} -2} \end{eqnarray*}$ was ich ebenfalls nicht berechnen kann.

Mein Problem ist, dass ich nicht einfach sagen darf, dass die Steigung der Tangente an P' = 2 ist und dann mein ursprünglicher GW 1/2. Ich darf halt auch nicht bei exp die Ableitung benutzen...

16.12.2021, 13:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von abc008
Ich darf halt auch nicht bei exp die Ableitung benutzen...

Wenn das so weiter geht mit deinem Wald von Verbotstafeln, dann werden wir uns wohl bis zum Urschleim zurückgraben müssen. unglücklich

16.12.2021, 13:16

abc008

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ln'(2) ohne Ableitung
Ich finde es auch doof, aber irgendwo muss es noch einen Trick geben oder? Wir hatten L'Hospital in der Vorlesung noch nicht und es wurde explizit darauf hingewiesen, dass wir keine Ableitungskonzepte verwenden sollen...

16.12.2021, 13:19

HAL 9000

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Ja dann musst du dir nochmal zu Fuß die Ableitung der Exponentialfunktion herleiten, jetzt wohl wiederum aus deren Definition.

16.12.2021, 14:05

Leopold

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Setzen wir, Differenzierbarkeit voraussetzend, $\begin{align*} h = \frac{1}{n} \end{align*}$ und lassen wir $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gehen:

$\begin{align*} \frac{\ln \left( 2 + \frac{1}{n} \right) - \ln(2)}{\frac{1}{n}} = n \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{2n} \right) = \ln \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^n = \ln \left( \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n} \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}$

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