Erwartungswert Annäherung berechnen bei 3fachem Muster

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Mmmmm131271 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Annäherung berechnen bei 3fachem Muster
Meine Frage:
Hallo an Alle hier zusammen!

Ich habe eine Frage zum Erwartungswert.

Nämlich habe ich gelesen, dass der Erwartungswert, dass bei einem Münzwurf 3 mal Zahl hintereinander aneinandergereiht vorkommt bei 14 liegt. Sprich wenn man eine Münze immer wieder von neu wirft - biginnend beim 1. Wurf bis zum n-ten wurf (also bis ZZZ) hinterainander vorkommt - also mehrere versuche macht bis ZZZ vorkommt zb 5000 versuche macht und zwar immer so häufig die Münze wirft bis 3 mal Zahl infolge passiert. Ergibt es nach 5000 versuchen mit unterschiedlich vielen würfen .. bzw sequenzen sozusagen.. bis zum zzz jeweils im schnitt 14 würfe.also pro "Versuch bis ZZZ passiert" dauert es 14 mal. Das heisst man kann in 14 würfen im schnitt ZZZ erwarten. Wenn man 5000 "Versuche" macht ist der durchschnitt 14.

1. Versuch ZZZ an 7. Stelle
2. Versuch ZZZ an 18. Stelle
3. Versuch ZZZ an 9. Stelle
....
5000 Versuch ZZZ an 5 . Stelle

Durchschnitt an 14. Stelle!

Ist daa soweit korrekt, habe das gelesen über den Erwartungswert davon. Von ZZZ.

Beispiel:Was ist wenn man jz 3 x SO LANGE wirft bis zzz passiert.

Und sagen wir es passiert an der 3. Stelle an der 7. Stelle und an der 6. Stelle. Alle stellen an denen ZZZ passieet ist zum ersten mal liegen in diesem beispiel unter 14! (Absichtlich), da aber der erwartungswert 14 ist müssen doch in Zukunft sequenzen auftauchen die länger als die ersten 3 angegeben dauern, bis ZZZ auftritt zum 1. Mal, damit der erwartungswert auch erreicht wird? Stimmt das soweit?

Dann wäre meine berechnung dem beispiel folgend 3. Stelle + 6 Stelle + 7. Stelle dividiert durch 3.

(3+6+7) / 3 = 5.33

Damit man auf den Erwartungswert 14. kommt müssen jz längere sequenzen in den Münzwürfen folgen, in denen nicht ZZZ vorkommt!?! Ist das richtig ? Nur so hat man doch die Möglichkeit 5.33 an 14 anzunähern.

Meine Ideen:
Meine frage ist ab wann kann man zb zu 95 oder 90 % sagen dass es sich dem erwartungwert nähert bzw kann man sagen ab dem 50. Versuch liegt man zwischen 13.5 und 14.5??? Finde dazu leider keine Antwort..

Weil in den ersten paar versuchen wird es vermutlich stark vom Erwartungswert abweichen aber irgendwann muss er sich ja beginnen einzugliedern/einzupendeln? Ich suche eine berechnung ab wann das ca passiert beim Münzwürf (binomialverteilung) finde aber nichts. Sozusagen:

1. 5 stelle
2. 23 stelle
3. 40 stelle
4. 3 stelle
5. 8 stelle
6. 5 stelle
Usw usw
X stelle ist gleich zwischen 13.5 und 14.5 erwartungswert? Zu 90 % bzw 95 %?

Also ich würde gern wissen wollen wie lange er braucht bis er sich zwischen 13.5 und 14.5 bewegt, mit einer gewissen warscheinlichkeit, kann man daa eig definieren?


Und meine 2. (Jedoch) Kurze frage wäre?

Wenn es unter dem erwartungswert von 14 ist... nach zb 5 versuchen.
Zb wird ZZZ an den Stellen 4. 7. 9. 3. 10. Also klar unter dem 14 mittelwert in summe = (4+7+9+3+10) / 5 = 6.6 mittwelwert! Bedeutet das den nicht das ab jz mehr Köpfe beim Münzwurf vorkommen müssen damit die stelle an der ZZZ passiert weiter nach hinten geschoben wird als die 14. Stelle ??? (Unter der bedingung eben das es gleich wie Köpfe wie Zahlen gibt p=0.5) Somit hätte man irgendwie eine unterbewertung des Erscheinen von Kopf? Damit die länge in Summe wieder 14 erreicht (erwartungwert, und ja ZZZ nicht vorkommen kann bevor 14 würfe gemacht wurden, da es ja länger als 14 würfen sein muss um den erwartungswert von derzeit 6.6 zu erhöhen im schnitt ist doch die einzige lösung mehr Köpfe wenn p = 0.5 K und p = 0.5 Z.? LG und hoffe ich habe gut erklärt das es nachvollziehbar ist.

smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es geht um das Problem des Auftretens der Sequenz ZZZ in einer Folge von Würfen mit einer ungezinkten Münze. Die in diesem Zusammenhang auftretenden Fragen muss man aber deutlich voneinander unterscheiden:

1. Wie lange dauert es im Mittel, bis ERSTMALIG diese Sequenz auftaucht?

2. Wie oft taucht diese Sequenz im Mittel auf, wenn wir insgesamt Würfe betrachten?

Die Antwort auf 1. ist tatsächlich 14 - die auf 2. aber , d.h. die Sequenz taucht für große im Mittel in jedem achten Wurf auf. Wie passt das zusammen? Das liegt daran, dass nach Beobachtung der Sequenz ZZZ eine erneute Beobachtung bereits beim nächsten Wurf mit Wahrscheinlichkeit sehr hoch ausfällt: Denn nach ZZZ gibt es die beiden gleichwahrscheinlichen Fortsetzungen ZZZK sowie ZZZZ, bei letzterer zählen wir also ein "neues" ZZZ. Beobachten wir hingegen K, dann ist an den nächsten beiden Zeitpunkten die Wahrscheinlichkeit 0, die Sequenz zu beobachten. Insgesamt bedeutet das, dass die Ereignisse, zu bestimmten Zeitpunkten die Sequenz zu beobachten hochgradig abhängig sind in der "Nachbarschaft"!

Wie berechnet man das ganze nun exakt? Fangen wir mit dem einfacheren Problem 2 an:

Bei Würfen gibt es an den Positionen 3 bis die Chance, diese Sequenz zu sichten (in dem Sinne, dass die Würfe sowie jeweils Z zeigen). Das geschieht dort jeweils mit Wahrscheinlichkeit , und es sind Positionen, ergo hat man im Mittel solche Sichtungen.


Nun zum schwierigeren Problem 1:

Bezeichnen wir mit die Anzahl der Wurfsequenzen der Länge , wo ZZZ NICHT beobachtet wird. Dann gilt für die Rekursion , mit folgender Begründung: Wir schauen uns an, mit welchen Würfen die Sequenz endet, und entsprechend dieser Fallunterscheidung zählen wir die passenden Wurfsequenzen, die insgesamt dann zu Anzahl führen.

Fall 1 "K": Hier passen diejenigen Sequenzen der Würfe vorher, wo auch schon ZZZ nicht auftauchte.

Fall 2 "Z"

Fall 2.1 "KZ": Hier passen diejenigen Sequenzen der Würfe vorher, wo auch schon ZZZ nicht auftauchte.

Fall 2.2 "ZZ"

Fall 2.2.1 "KZZ": Hier passen diejenigen Sequenzen der Würfe vorher, wo auch schon ZZZ nicht auftauchte.

Fall 2.2.2 "ZZZ": Hier ist es offenbar so, dass ZZZ ja auftaucht, und somit nichts zur gesuchten Anzahl hinzukommt.


Betrachten wir nun die Zufallsgröße des Zeitpunktes, wo zum ersten mal ZZZ beobachtet wird, dann gilt , was zusammen mit obiger Rekursion dann ergibt



Startwerte sind dabei , denn offenkundig muss sein.

Mit dieser Rekursion kann der Erwartungswert dieser Anzahl so berechnet werden:



was umgestellt bzw. dann ergibt. Mit einer ähnlichen (aber noch etwas längeren) Rechnung kommt man übrigens auf Varianz . Mit beiden Werten lässt sich auf Basis des Zentralen Grenzwertsatzes zumindest approximativ eine Antwort auf die Frage

Zitat:
Original von Mmmmm131271
Meine frage ist ab wann kann man zb zu 95 oder 90 % sagen dass es sich dem erwartungwert nähert bzw kann man sagen ab dem 50. Versuch liegt man zwischen 13.5 und 14.5???

finden.

Abgesehen vom Erwartungswert kann man mit der mittels (*) berechenbaren Folge der Werte P(X>n) auch die Einzelwahrscheinlichkeiten

für alle

berechnen. Die sollten einige deiner Fragen beantworten bzw. überflüssig machen. Im einzelnen gehe ich auf diese Fragen nicht ein, dazu sind mir deine Gedanken und dein Schreibstil zu chaotisch, da solltest du dich erstmal sammeln und die Fragen in etwas vernünftigerer und gebündelter Form darlegen. Augenzwinkern

code:
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37:
38:
39:
40:
41:
n      P(X=n)
1	0,000000
2	0,000000
3	0,125000
4	0,062500
5	0,062500
6	0,062500
7	0,054688
8	0,050781
9	0,046875
10	0,042969
11	0,039551
12	0,036377
13	0,033447
14	0,030762
15	0,028290
16	0,026016
17	0,023926
18	0,022003
19	0,020235
20	0,018609
21	0,017114
22	0,015738
23	0,014474
24	0,013311
25	0,012241
26	0,011257
27	0,010353
28	0,009521
29	0,008756
30	0,008052
31	0,007405
32	0,006810
33	0,006263
34	0,005760
35	0,005297
36	0,004871
37	0,004480
38	0,004120
39	0,003789
40	0,003484
Für große verhält sich annähernd wie eine geometrische Folge, und zwar mit und der einzigen reellen Lösung der kubischen Gleichung , das ist .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt mal im Detail zu deiner Frage

Zitat:
Original von Mmmmm131271
ab wann kann man zb zu 95 oder 90 % sagen dass es sich dem erwartungwert nähert bzw kann man sagen ab dem 50. Versuch liegt man zwischen 13.5 und 14.5???

Gemäß Zentralem Grenzwertsatz trifft für den Mittelwert von solchen Anzahlen approximativ die Normalverteilung zu.

Eine Bedingung wie , - etwa in deinem Fall mit sowie oder - lässt sich dann so umsetzen









Für bedeutet dies mit Quantil und mit dann Abschätzung .

D.h., du brauchst mindestens Simulationsläufe, um sagen zu können. Du musst daher - was die Anzahl der Versuche betrifft - erheblich mehr Geduld aufbringen, als du sie oben bisher gezeigt hast (Anzahl 50 ist also viel zu wenig für dein ambitioniertes Genauigkeitsziel). Augenzwinkern


Zitat:
Original von Mmmmm131271
Wenn es unter dem erwartungswert von 14 ist... nach zb 5 versuchen. Zb wird ZZZ an den Stellen 4. 7. 9. 3. 10. Also klar unter dem 14 mittelwert in summe = (4+7+9+3+10) / 5 = 6.6 mittwelwert! Bedeutet das den nicht das ab jz mehr Köpfe beim Münzwurf vorkommen müssen damit die stelle an der ZZZ passiert weiter nach hinten geschoben wird als die 14. Stelle ???

Ich hoffe, du meinst das nicht in dem Sinne "Muss der Zufall sich nicht anstrengen - wenn er im Mittelwert im Rückstand ist - diesen Rückstand in den kommenenden Versuchen durch besonders hohe Werte wieder auszugleichen?" Denn derart unsinniges hört man leider immer wieder.

Nein, das muss der Zufall nicht "ausgleichen"!!! Bei unabhängigen Versuchen ist es dem Zufall sch...egal, was in der Vergangenheit passiert ist, die kommenden Versuchsausgänge sind völlig unabhängig davon, ob der bisherige Mittelwert nun zu niedrig oder zu hoch ist. Solange man dieses Grundprinzip nicht wirklich verinnerlicht hat, wird man in der Stochastik keinen Fuß auf die Erde kriegen.

EDIT (20.12.): Erst so ein langer Text, und dann kein Interesse mehr - kann man nichts machen.
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