Dualraum erzeugen

17.12.2021, 14:31	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum erzeugen Hallo ; Wir haben den K[x] und eine funktionenfamilie $\begin{eqnarray} f_n(\sum\limits_{k=0}^{n} a_i\cdot x^i)=a_n \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist dass diese Familie nicht Erzeugendensystem des Dualraums von K[x] ist Ein Gegenbeispiel wäre gut. Was sind denn noch Elemente von K[x]? Hat jemand vielleicht ein paar Beispiele von Funktionen in K[x]*?
17.12.2021, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum erzeugen Ich vermute bei Erzeugendensystemen ist gefordert, dass jede Abbildung endliche (!) Linearkombination aus Elementen des Erzeugendensystem ist. Dann könnte man so dreist sein und $\begin{eqnarray} \varphi \colon \mathbb K[x] \to \mathbb K \end{eqnarray}$ definieren mit $\begin{eqnarray} \phi(p) = \sum_{n \geq 0} f_n(p) \end{eqnarray}$ . Für jedes Polynom wohldefiniert, aber nicht als endliche Kombination der $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ darstellbar.
17.12.2021, 16:01	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum erzeugen Ich dachte auch sowas in die Richtung, aber es ist explizit erwähnt das ein Erzeugendensystem auch unendlich sein kann... Ach so, aber es ginge natürlich, dass das EZS unendlich ist, aber jedes Element aus endlichen linearkombinationen besteht...ja ich glaub das könnte so gehen Warum genau ist das ganze wohldefiniert? und linearität muss ich auch noch zeigen, oder? (ich glaub Linearität klappt, das hatte ich schonmal gezeigt... fehlt wohldefiniertheit) Wohldefiniertheit heißt doch nur für a=b folgt f(a)=f(b) oder? wie genau kann ich das zeigen?
17.12.2021, 16:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit bedeutet, dass die Funktion für jedes $\begin{eqnarray} p \in \mathbb K[x] \end{eqnarray}$ exakt ein $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ zugeordnet wird. Das kannst du zeigen, da jedes Polynom nur endlichen Grad besitzt.
17.12.2021, 17:49	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
ja cool Danke
17.12.2021, 18:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das gelöst hast, kannst du dir überlegen ob alle $\begin{eqnarray} (f_n) \end{eqnarray}$ zusammen mit $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem bilden
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