Banachraum

17.12.2021, 15:35	Ale1205	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachraum Meine Frage: Hallo zusammen, ich muss folgendes zeigen: Sei $\begin{eqnarray} B:=\{u\in C([0,h]):\\|u\\|<\infty\}$ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|u\\|=\underset{t\in (0,h]}{sup}\frac{\|u(t)\|}{t} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (B,\\|\cdot\\|) \end{eqnarray}$ ein Banachraum ist. Meine Ideen: Kann mir hier jemand helfen? Ich müsste ja zeige, dass jede Cauchy Folge in diesem Raum konvergiert.
17.12.2021, 16:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachraum Für alle $\begin{eqnarray} u \in B \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} u(0) =0 \end{eqnarray}$ , für die anderen $\begin{eqnarray} x \in (0,h] \end{eqnarray}$ kannst du zeigen, dass für eine Cauchy-Folge $\begin{eqnarray} (u_k) \subset B \end{eqnarray}$ die Folge $\begin{eqnarray} (u_k(x)) \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge ist. Damit bekommst du einen potentiell Grenzwert $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ , von dem du noch zeigen musst, dass er in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist.

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