Abschätzung durch geometrische Reihe

18.12.2021, 20:12

Mona100

Abschätzung durch geometrische Reihe

Hey,

als Zwischenschritt für den Beweis, dass e eine irrationale Zahl ist, soll folgende Teilaufgabe bewiesen werden: Sei $\begin{eqnarray*} s_{n}:= \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e= \lim_{n \to \infty } s_{n} \end{eqnarray*}$ die Eulersche Zahl. Zu zeigen ist nun: $\begin{eqnarray*} | e-s_{n} |\leq \frac{1}{n*n!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N ,n\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Ich habe nun $\begin{eqnarray*} | e-s_{n} | \end{eqnarray*}$ umgeformt zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{(n+k)!} \end{eqnarray*}$ . Ich vermute mal, dass diese nun durch eine geometrische Reihe abgeschätzt werden muss, komme aber irgendwie nicht drauf. Kann mir jemand weiterhelfen?

18.12.2021, 20:41

IfindU

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RE: Abschätzung durch geometrische Reihe
Du hast $\begin{eqnarray*} (n+m)! \geq n! n^m \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 { (n+k)!} \leq \sum_{k=1}^\infty \frac 1 { n!n^k} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n =1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die rechte Reihe leider nicht, aber für die weiteren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat man eine sehr schnelle Konvergenz. Du kannst ja nachprüfen, ob das für die gewünschte Abschätzung reicht oder man vorsichtiger sein muss.

18.12.2021, 22:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
oder man vorsichtiger sein muss.

Etwas vorsichtiger sollte man angesichts des Abschätzungszielwertes schon sein. Aber $\begin{eqnarray*} (n+m)! \geq n! (n+1)^m \end{eqnarray*}$ gilt ja schließlich auch für alle $\begin{eqnarray*} m\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Kann man natürlich auch mit deiner Abschätzung sowie Indexverschiebung erreichen, aber wir wollen Mona100 ja nicht zusätzlich verwirren. Augenzwinkern

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