Dimension des Schnitts

18.12.2021, 20:43	geazy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Schnitts Meine Frage: Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und seien W1,W2 ? V zwei Unterräume. Beweisen Sie die folgenden Aussagen. Für den Vektorraum W1 × W2={(w1,w2)\|w1 ? W1,w2 ? W2} mit den durch (w1,w2)+(x1,x2):=(w1+x1,w2+x2),c · (w1,w2):=(c · w1,c · w2) definierten Operationen gilt dim(W1 × W2)=dimW1+dimW2. (Sie brauchen nicht nachzurechnen, dass W1 × W2 mit diesen Verknüpfungen ein Vektorraum ist.) Ich komme hier nicht weiter und finde dazu auch nichts im Internet kann mir jemand behilflich sein ? MfG Regenmann Meine Ideen: Keine Ahnung
19.12.2021, 10:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum steht in der Überschrift etwas vom Schnitt, während in der Aufgabe vom direkten Produkt der Vektorräume die Rede ist? Die Dimensionen von $\begin{align} W_1 \end{align}$ und $\begin{align} W_2 \end{align}$ seien $\begin{align} n_1 \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} n_2 \end{align}$ . Seien weiter $\begin{align} a_1,a_2,\ldots,a_{n_1}; \ \ b_1,b_2,\ldots,b_{n_2} \end{align}$ Basen von $\begin{align} W_1 \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} W_2 \end{align}$ . Was könnte nun eine Basis von $\begin{align} W_1 \times W_2 \end{align}$ sein, wenn man an das Ziel des Beweises denkt? Beispiel: $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ hat die Basis $\begin{align} (1,0), (0,1) \end{align}$ $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ hat die Basis $\begin{align} (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \end{align}$ $\begin{align} \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3 \cong \mathbb{R}^5 \end{align}$ $\begin{align} \mathbb{R}^5 \end{align}$ hat die Basis $\begin{align} (1,0;0,0,0), (0,1;0,0,0), (0,0;1,0,0), (0,0;0,1,0), (0,0;0,0,1) \end{align}$

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