Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck

Neue Frage »

20.12.2021, 10:21	roman_lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck Hallo zusammen, habe hier ein kleines Problem bei dem ich nicht weiterkomme, bestimmt etwas für euch alle total offensichtliches übersehe, aber nicht auf meinen Fehler komme. Es geht darum ein Glas in einem zweiten Glas so weit wie möglich zu verkippen und den maximalen Winkel der Verkippung zu berechnen. Ich habe mir das ganze erstmal als zwei ineinander stehende Rechtecke aufgemalt, und alle Strecken benannt: [attach]54186[/attach] Ich kenne Höhe und Breite des äußeren Rechtecks und auch die Breite des inneren Rechtecks. Die Höhe des inneren Rechtecks kenne ich theoretisch auch. Sie ist deutlich größer als die Höhe des äußeren Rechtecks, so dass die Verkippung in jedem Fall durch ein Anliegen der äußeren Seite des inneren Rechtecks am äußeren Rechteck begrenzt wird. Mein Vorgehen zur Lösung: Mit den drei bekannten Größen a, b, c und den sechs unbekannten d, e, f, g, x, A habe ich sechs Gleichungen aufgestellt: $\begin{eqnarray} \cos(A)= \frac{x+a}{c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(A)= \frac{b}{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=e+f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{2}=g^{2} +e^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(A)=\frac{x}{b-g} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d^{2}=f^{2} +b^{2} \end{eqnarray}$ Anschließend habe ich versucht alle Unbekannten bis auf den Winkel A zu eliminieren und komme auf folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} -a^{2}+\left(b-\frac{-a+c\cos(A) }{\sin(A)} \right)^{2}+\left(c+\sqrt{-b^{2}+\frac{b^{2}}{cos^{2}(A)} } \right) ^{2} \end{eqnarray*}$ Und hier komme ich jetzt leider nicht mehr weiter. Eine Auflösung nach A klappt nicht (habe es beispielsweise auch mal bei mithilfe von wolframalpha.com versucht) Und auch wenn ich mir ein Beispiel aufzeichne in welchem ich den Winkel messen kann, komme ich auf kein vernünftiges Ergebnis. Vielleicht sieht ja einer von euch wo ich meinen Fehler mache und kann mir auf die Sprünge helfen ... Viele Grüße, Roman
20.12.2021, 11:22	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck Gib doch bitte die konkreten Werte für a, b und c an. Ich möchte etwas rechnen.
20.12.2021, 12:01	werner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck anders rum geht´s vermutlich besser, berechne f aus $\begin{eqnarray} tan\alpha=\frac{f}{b}<br /> cos\alpha=\frac{e-f}{a} \end{eqnarray}$ und damit den Winkel
20.12.2021, 13:00	roman_lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck @klauss: Die Werte aus meiner Beispielskizze lauten: c = 70 mm, b = 100 mm. Weil ich für die Skizze A = 12° gewählt habe ergibt sich a zu: 49,83332147 mm
20.12.2021, 13:37	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck Danke. Ich habe im Prinzip auch den Ansatz von werner gewählt, wobei dort ein Schreibfehler ist (sollte " $\begin{eqnarray} c-f \end{eqnarray}$ " sein). Daraus folgt $\begin{eqnarray} e+f=c=a\cdot \cos(A)+b\cdot \tan(A) \end{eqnarray}$ Das habe ich ohne feinere Strategie brutal zu $\begin{eqnarray} \cos^{4}(A)-\frac{2c}{a}\cos^{3}(A)+\frac{b^{2} +c^{2} }{a^{2}}\cos^{2}(A)-\frac{b^{2} }{a^{2} } =0 \end{eqnarray}$ gezwungen. Mit der Substitution $\begin{eqnarray} x=\cos(A) \end{eqnarray}$ kann ich mir dann die Näherungslösung einer Polynomgleichung berechnen lassen, die mit Deinen gegebenen Werten konform ist. Ich hätte allerdings gedacht, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ direkt bekannt ist und sich nicht umgekehrt aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ergibt. Es kann sich natürlich noch herausstellen, dass es einen viel eleganteren Weg gibt, mit dem ich mich nicht befaßt habe.
20.12.2021, 21:20	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck Hm, auch analytisch wirds nicht viel besser. Stelle den äußeren Becher in den Ursprung Sei x=e F_x:=(x,0) die untere rechte Ecke auf der x-Achse dann geht es im rechten Winkel zur oberen Becherkante (c,b) in Richtung $\begin{eqnarray} n \, := \, \left( \begin{array}-b \\ c - x \end{array} \right) \end{eqnarray}$ zu F_y:=F_x + a n/sqrt(n^2) linke untere Ecke auf der y-Achse mit $\begin{eqnarray} F_y \, := \, \left(\frac{-a \; b + x \; \sqrt{b \; b + \left(c - x \right) \; \left(c - x \right)}}{\sqrt{b \; b + \left(c - x \right) \; \left(c - x \right)}}, \frac{a \; c - a \; x}{\sqrt{b \; b + \left(c - x \right) \; \left(c - x \right)}} \right) \end{eqnarray}$ ===> x-Koordinate F_y = 0 keine allgemeine Lösung Solve(Substitute( F_y (1,0),{a=2,b=7,c=3.5}), x) {x = 1.952870641811} Substitute(F_y,{a = 2, b = 7, c = 3.5,x = 1.953})) F_y=( ~10^-13, 0.4316205003845) acosd(1.953/2)=12.44588382726°
Anzeige

21.12.2021, 07:59	roman_lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr für eure Mühen! Ich werde mal versuchen eure Lösungen nachzuvollziehen. Jedenfalls scheint es ja so, dass ich grundsätzlich in meinem ursprünglichen Vorgehen keinen gravierenden Fehler gemacht habe. War wohl nur nicht der cleverste Ansatz. Und natürlich war meine Annahme/Erwartung da direkt eine allgemeine Lösung raus zu bekommen nicht so ganz richtig Erstmal muss ich jetzt aber versuchen zu verstehen wie die "brutal erzwungene" Umformung von klauss funktioniert, da stehe ich grade noch etwas auf dem Schlauch. Danke nochmal und viele Grüße.
21.12.2021, 09:27	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich über den Pythagoras gehe komm ich letzt endlich auf x^4-2cx^3+c^2x^2+b^2x^2-a^2*b^2=0 die Lösung möcht ich jetzt nich posten, da sie ein ziemicher Broken ist ;-) Hast Du daran Interesse? [attach]54196[/attach]
21.12.2021, 15:16	roman_lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
Interesse hätte ich auf jeden Fall! Möchte aber keine Umstände bereiten, klingt ja nach sehr viel Tipparbeit
21.12.2021, 16:02	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tipparbeit hält sich in Grenzen, das CAS hat viel arbeit ;-).. https://www.geogebra.org/m/qabskcu4 worksheet kennst du GeoGebra? Die Berechnung von x aus meinen Formeln steckt in fenster links unten Number x1 Triple Point Settings unter Basic Definition dann hast du das dreieck x=e, g=y-koordinate Fy, a Geogebra hat das polynom nicht lösen können, weshalb ich wxMaxima beauftragt habe… kommst du damit zurecht? e=x=(bekomme aus dem ipad nix vernünftiges raus, ergänze das später ) g=((a* c) - (a* x)) / sqrt((b * b) + ((c - x) * (c - x)))) hübsch häßlich, oder? ich hoffe ich hab nix verkopiert
22.12.2021, 14:28	roman_lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Mühe. Kenne weder GeoGebra noch wxMaxima, werde mich aber mal durcharbeiten und Rückmeldung geben (kann aber ein bisschen dauern :lesen2 Danke und Gruß.
22.12.2021, 16:19	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, leider entfernt GeoGebra einige Rechenzeichen (z.B. *). Ich hab deshalb eine anwenderfreudliche Version per PN an Dich geschickt und an die ggb-Seite angehängt. Wüsste jetzt gar nicht, wie man das Teil als wiederverendbare Version (z.B. für TabKalk) da wieder herausbekommt. Müsste man evtl. in das ggb-Zip-File direkt rein schauen? Siehe Beispiel mit Ergebnis... Will das häßliche Monster hier nicht verbreiten ;-).... Wenn sich weitere spezielle Fragen ergeben, gerne auch per PN.

Neue Frage »

Antworten »

Maximale Verkippung Rechteck in Rechteck

Verwandte Themen