Binomialverteilung p_maximal für X ermitteln

20.12.2021, 19:07	Alfonso Tarik	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung p_maximal für X ermitteln Kann mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein, blicke nämlich nicht mehr durch. Danke im Voraus!
21.12.2021, 00:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Bei einer Binomialverteilung liegt der höchste Wert einer Einzelwahrscheinlichkeit in der Nähe des EW (Erwartungswertes). Dabei gilt EW = n*p Das Weitere ist eine Milchmädchenrechnung mY+
21.12.2021, 00:35	Alfonso Tarik	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a) habe ich 0,1 raus, doch weiß leider nicht, wie ich das erklären soll. Bei b) verstehe ich leider nicht was ich machen soll habe im GTR unter tabellen BinomialCD(10,100,x) ein Wert soll Maximal sein, doch ich weiß nicht,wie man das erkennt. Kannst du mir bitte behilflich sein und auch mir zeigen, wie man alles mathematisch aufschreibt. Bei b) funktioniert wohl auch mit einer Ableitung , doch ich hatte das noch nicht im Unterricht. Bitte um deine Hilfe. Danke im Voraus!
21.12.2021, 13:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage bei a) ist: B(10 \| p, 100) = P(X=10) = Max. Wie vorhin schon erwähnt, ist dies in der Nähe des Erwartungswertes (EW) der Fall. Der EW ist np = 100p (n = 100) und dieser soll 10 entsprechen, mithin 100p = 10 --> p = 0,1, das entspricht 10% P(X=10) = 0,132, das ist tatsächlich der maximale Wert für 10%, bei X = 10 [attach]54197[/attach] Diese Methode ist allerdings noch immer empirisch. Exakt wäre der entsprechende Binomialkoeffizient B(n; k) für p zu maximieren (n = 100, k = 10): $\begin{eqnarray} B_p(n;k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_p(100; 10) = f(p) = \begin{pmatrix} 100 \\ 10 \end{pmatrix} p^{10}(1-p)^{90} \ \to \ \text{Max} \end{eqnarray}$ Weiter geht es tatsächlich nur mittels der Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(p) = \begin{pmatrix} 100 \\ 10 \end{pmatrix}\left[10p^9(1-p)^{90} - 90p^{10}(1-p)^{89}\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \ \to \text{ Null setzen und kürzen!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 - p = 9p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = 0,1 \end{eqnarray}$ ======= b) Welche Verteilung ist mit F gemeint? (Es gibt nämlich auch eine F-Verteilung (Fisher -)) Damit wäre allerdings diese Aufgabe sinnlos. --------- Möglich wäre die kumulierte* BV, darauf deutet vielleicht CD (cumulated distribution) hin. Da wird es vermutlich keine exakte Lösungsmöglichkeit geben, denn die Problematik liegt in der Addition von zumindest 11 Summanden. Außerdem muss angegeben bzw. angenommen werden, ob mit $\begin{eqnarray} P(X\leq10) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P(X\geq10) \end{eqnarray}$ zu rechnen ist. Auch hier ist wieder zu vermuten, dass n*p = EW (= 10) sein wird. Eine näherungsweise Rechnung mit CAS, Tabellen oder GTR kann natürlich durchgeführt werden. [attach]54198[/attach] mY+
21.12.2021, 14:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe davon aus, dass mit diesem $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ einfach die zugehörige Verteilungsfunktion dieser Binomialverteilung gemeint ist, d.h., $\begin{eqnarray} F_{n,p}(k) = \sum_{j=0}^k B_{n,p}(j) \end{eqnarray}$ . Die Frage nach dem Maximum dieses $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist verblüffend einfach beantwortbar: Es ist $\begin{eqnarray} F_{n,p}(k) < 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} p>0,0\leq k<n \end{eqnarray}$ , während $\begin{eqnarray} F_{n,0}(k) = 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\geq 0 \end{eqnarray}$ gilt. Somit ist auch $\begin{eqnarray} F_{100,p}(10) \end{eqnarray}$ maximal für $\begin{eqnarray} p=0 \end{eqnarray}$ .
21.12.2021, 14:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt mit anderen Worten, man gelangt mit Aufgabe b) auf das Glatteis, wenn man nicht aufpasst mY+
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21.12.2021, 14:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls man es dennoch mal brauchen sollte: Die Rechnung ergibt $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial p} F_p(n;k) = -n\binom{n-1}{k} p^k(1-p)^{n-k-1} = -nB_{n-1,p}(k) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq k<n \end{eqnarray}$ . (Genau genommen auch für $\begin{eqnarray} k=n \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} \binom{n-1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ ist.)

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