Funktion ermitteln aus Zahlenreihe

24.12.2021, 11:49

KLE

Funktion ermitteln aus Zahlenreihe

Hallo,
...ich brauche eure Hilfe. Ich brauche für ein Projekt eine mathematische Formel, um schneller über Zeiträume rechnen zu können. Das Ziel ist es, basierend auf 3 bekannten Größen, Zukunftswerte zu ermitteln.

In jedem Intervall wird eine konstante Anzahl Teilchen (A) hinzugefügt.
Von denen, stehen im nächsten Intervall immer ein bestimmter %-Satz (B) noch zur Verfügung.

Beispiel:
Im ersten Intervall habe ich 24 Teilchen. Im zweiten Intervall kommen weitere 24 hinzu und aus dem ersten Intervall sind noch 19 (80% der ersten 24 Teilchen) da, dass heißt im zweiten Intervall habe ich 19+24 = 43 Teilchen.
Im dritten Intervall kommen wieder 24 hinzu und von den 43 bleiben 80%... usw.

Wie kann ich daraus eine Funktion erstellen, die es mir ermöglicht, dass ich A & B frei wählen kann als Variable sowie die Anzahl (C) der Intervalle, um dann zu ermitteln mit der Funktion, wie viele Teilchen z.B. nach 10, 30 oder 87 Intervallen da sein werden...

Vielen Dank für Eure Hilfe!
Sonnige Grüße KLE

24.12.2021, 11:57

willyengland

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Ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} I_C = B^C*A+B^{C-1}*A+B^{C-2}*A ...+ A \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich kann man das noch irgendwie vereinfachen ...

24.12.2021, 12:02

Leopold

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Dahinter steckt eine geometrische Summe. $\begin{align*} A \end{align*}$ habe die Bedeutung wie bei Dir, statt $\begin{align*} B \end{align*}$ schreibe ich lieber $\begin{align*} p \end{align*}$ . In deinem Beispiel ist $\begin{align*} A=24 \end{align*}$ und $\begin{align*} p=0{,}8 \end{align*}$ . Wenn zur Zeit $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ die Anzahl der Teilchen $\begin{align*} A \end{align*}$ ist, dann gilt für die Anzahl $\begin{align*} T(t) \end{align*}$ der Teilchen zur Zeit $\begin{align*} t \end{align*}$ die Formel

$\begin{align*} T(t) = \frac{A}{1-p} \cdot \left( 1 - p^{t+1} \right) \, , \ \ t \geq 0 \end{align*}$

In deinem Beispiel ergibt sich

$\begin{align*} T(t) = 120 \cdot \left( 1 - 0{,}8^{t+1} \right) \end{align*}$

24.12.2021, 14:00

klauss

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RE: Funktion ermitteln aus Zahlenreihe
@KLE:
Leopold hat Dir unter Hinweis auf einen bestimmten bekannten Zusammenhang bereits eine Formel geliefert. Ich möchte hinzufügen, was man als interessierter, nicht unbegabter Laie selbst an Arbeit leisten kann.
Das Problem hast Du ja schön formuliert, so dass klar ist, wonach gesucht ist.
Wie betreibt man nun Mathematik?
Man fängt einfach mal an, hinzuschreiben, was passiert, und hofft eine Gesetzmäßigkeit zu finden.
Das sähe hier z. B. so aus:
Gemessen werde jeweils zu Beginn eines Zeitintervalls. Dann ist der Bestand zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left\{\underbrace{\left[\underbrace{\left(\underbrace{24}_{t=0}\cdot 0,8+24\right)}_{t=1}\cdot 0,8+24 \right]}_{t=2} \cdot 0,8+24\right\}}_{t=3} \cdot 0,8+24 ... \end{eqnarray*}$

Man sieht also schon, wo die Variablen A, B, C einzubringen sind.
Das kann man von innen heraus auflösen zu

$\begin{eqnarray*} ...+24\cdot 0,8^{4}+24\cdot 0,8^{3} + \underbrace{24\cdot 0,8^{2}+\underbrace{24\cdot 0,8+\underbrace{24}_{t=0}}_{t=1} }_{t=2} \end{eqnarray*}$

Die gewünschte Gesetzmäßigkeit scheint offenbar zu existieren und ausklammern kannst Du auch noch selbst:
$\begin{eqnarray*} 24\cdot \left(...+0,8^{4} +0,8^{3} +0,8^{2}+0,8+1 \right) \end{eqnarray*}$

Und wenn Du JETZT nicht weißt, wie der Klammerinhalt vereinfacht werden kann, dann kann immer noch ein Fortgeschrittener die Formel für
$\begin{eqnarray*} 24\cdot \sum\limits_{k=0}^{?} \left(0,8\right)^{k} \end{eqnarray*}$
beitragen.

24.12.2021, 16:33

KLE

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Vielen Dank...
Vielen Dank für Eure ausführlichen Erklärungen und Formeln.
Werde sie gleich mal ausprobieren, wobei ich überzeugt bin, dass sie passen werden.

Danke @Klauss für die ausführliche Herleitung. Damit kann ich sicher mir auch andere Formeln in Zukunft leichter erstellen. Total logisch und einfach, kam heute irgendwie nicht darauf, es selbst so zu machen.

24.12.2021, 17:15

klauss

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RE: Vielen Dank...

Zitat:

Damit kann ich sicher mir auch andere Formeln in Zukunft leichter erstellen.

Wenn diese zentrale Botschaft angekommen ist, war es ein nützliches Weihnachtsgeschenk. smile

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