Funktionsgleichung ermitteln

24.12.2021, 21:02

dorftrottel

Funktionsgleichung ermitteln

Meine Frage:
Guten Abend,

ich stehe bei folgender Aufgabe aktuell auf dem Schlauch und mir fällt nicht ein wie ich fortsetzen könnte.

Gegeben ist der Funktionswert der Funktion am Punkt 1 sowie das der Wert der Funktion f(x+1)=13,2*f(x) ist. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung

f(1)=21,49
f(x+1)=13,2*f(x)

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist das es sich bei der Funktion um eine Exponentialfunktion handeln sollte. Eine Exponentialfunktion hat an der Stelle f(1) im Regelfall immer der Funktionswert der Basis, durch einen Faktor mit dem diese jedoch multipliziert wird kann dies jedoch verhindert werden.

$\begin{eqnarray*} b\cdot a^x=b\cdot e^{x\cdot ln(a)} \end{eqnarray*}$

Das heißt ich habe zwei Unbekannte Variablen, die Basis der Exponentialfunktion und den Faktor. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sollten sich lösen lassen.

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+1)}{f(x)}=13,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\ln(a)\cdot (x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{b\cdot e^{\ln(a)\cdot (x+1)}}{b\cdot e^{\ln(a)\cdot (x+1)}}=13,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{b\cdot e^{LN(a)(x+1)}}{b\cdot e^{LN(a)(x)}}=13,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b*e^{LN(a)}=21,49 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich für den Quotienten der 1. Gleichung x=1 setzen und die 2. Gleichung einsetzen.

Edit by IfindU: LateX-Tags ergänzt

24.12.2021, 21:58

klauss

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RE: Gleichung ermitteln
Zunächst zur Korrektur:

Zitat:

Funktionswert der Funktion am Punkt 1

muß lauten "an der Stelle 1".
Im übrigen ist Exponentialansatz plausibel.
Ich würde da aber gleich mit $\begin{eqnarray*} f(x)=b\cdot e^{ax} \end{eqnarray*}$ starten, ohne den Logarithmus zu früh zu bemühen.
Dann
$\begin{eqnarray*} f(x+1)=b\cdot e^{ax+a}=b\cdot e^{a}\cdot e^{ax} =13,2\cdot b\cdot e^{ax} \end{eqnarray*}$
Jetzt solltest Du direkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rauskriegen.

24.12.2021, 22:22

Helferlein

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Anmerkung meinerseits: Die so berechnete Exponentialfunktion ist nur eine von unendlich vielen Lösungen.
Das liegt daran, dass die Vorgaben nur Funktionswerte für natürliche Zahlen liefert.
Erst im Zusammenhang mit der Stetigkeit wird eine eindeutige Lösung erzielt.

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