Schnittgerade einer Ebenenschar

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26.12.2021, 16:29	lisa---	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade einer Ebenenschar Meine Frage: Wenn ich zeigen soll, dass eine Ebenenschar eine Schnittgerade besitzt, reicht es doch aus, wenn ich zwei Ebenen nehme und diese eine Schnittgerade besitzen, oder nicht? Meine Ideen: Zum Beispiel kann ich hier für die Ebenenschar Ea:2ax+(4-a)y-2z=6 die Ebene E0 und E1 betrachten. Wenn diese eine Schnittgerade besitzen, dann weiß ich, dass das die Schnittgerade der Ebenenschar ist, denn die Ebenen einer Ebenenschar sind entweder parallel, identisch oder besitzen eine Schnittgerade. Daher muss ich nicht noch überprüfen, ob die Gerade tatsächlich in der Ebenenschar liegt, oder? Oder gibt es etwa Fälle, in denen sich nur einige Ebenen der Ebenenschar schneiden? Falls ja, welche? Danke im Voraus!
26.12.2021, 17:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst zwei Ebenen der Schar nehmen und ihre Schnittgerade $\begin{align} g \end{align}$ bestimmen. Damit ist aber noch nicht gesagt, daß $\begin{align} g \end{align}$ auch eine gemeinsame Gerade der gesamten Ebenenschar ist. Denn zwei nicht-parallele Ebenen besitzen immer eine Schnittgerade. Aber warum sollte diese Gerade auch auf weiteren Ebenen liegen? Du mußt daher noch nachweisen, daß $\begin{align} g \end{align}$ in allen Ebenen der Schar liegt.
26.12.2021, 17:52	lisa---	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Mir ist leider immer noch unklar, weshalb das nicht für alle anderen Ebenen ebenfalls gelten sollte. Besser gesagt: Ich kann mir keine Ebenenschar vorstellen, auf die der Fall zutrifft. Leider kann ich aber auch nicht beweisen, dass es keine solche Ebenenschar gibt. Kennst du ein konkretes Beispiel, bei dem nur die zwei Ebenen eine Schnnittgerade g besitzen aber nicht die restlichen Ebenen der Ebenenschar? Oder kann man meine Vermutung beweisen, dass, wenn sich zwei Ebenen schneiden, dann auch alle anderen?
26.12.2021, 18:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stell dir eine aufrecht stehende Tonne vor, an die senkrecht ein Brett angelehnt ist. Das Brett drehst du jetzt um die Tonne herum. Die möglichen Lagen des Brettes kannst du als eine Ebenenschar ansehen. Zwei Ebenen der Schar haben (fast) immer eine Schnittgerade. Aber die gesamte Schar besitzt keine gemeinsame Gerade. [attach]54213[/attach]
27.12.2021, 02:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der klassische Weg, die Schnittmenge von Parametergleichungen zu bestimmen, besteht darin, die Gleichungen von zwei Elementen der Schar mit zwei voneinander verschiedenen Scharparametern zu bestimmen. Danach können die Parameter mittels Subtraktion eliminiert werden. $\begin{eqnarray} 2a_1x + (4 - a_1)y - 2z = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a_2x + (4 - a_2)y - 2z = 6 \ \| \ - \end{eqnarray}$ ------------------------------------------- $\begin{eqnarray} 2x(a_1 - a_2) - (a_1 - a_2)y = 0 \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt wurde, ist die Gleichung durch den Ausdruck $\begin{eqnarray} a_1 - a_2 \neq 0 \end{eqnarray}$ zu dividieren: $\begin{eqnarray} \to \ 2x -y = 0 \end{eqnarray}$ Dies ist die Gleichung einer Ebene, in der die Schnittmenge von (je zwei) beliebig herausgegriffenen Ebenen der Schar mit den reellen Scharparametern $\begin{eqnarray} a_1, a_2, .., a_i, a_j \end{eqnarray}$ liegt, demnach gilt sie für alle Ebenen der Schar. ---------- Die Gleichung 2x - y = 0 stellt eine Ebene in R3 dar, die selbst NICHT Teil der Schar ist*, welche aber eine Trägerebene der Schnittgeraden der Schar ist. Die Schnittgerade in R3 hat ihrerseits einen Parameter für ihren Richtungsvektor, er sei t, damit belegen wir (oBdA) x = t, mittels 2x - y = 0 ist y = 2t Setze nun x = t und y = 2t in eine spezielle Ebenengleichung der Schar (Parameter = a) ein: --> 2at + (4-a)2t - 2z = 6 --> z = -3 + 4t* Damit ist die Schnittgerade mit ihrem Stützpunkt und Richtungsvektor festgelegt: $\begin{eqnarray} \vec X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mY+ () Ohne Beschränkung der Allgemeinheit () --> Grenzlage der Schar für $\begin{eqnarray} a \to \infty \end{eqnarray*}$
27.12.2021, 10:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das Ganze gleich mit konkreten Parameterwerten rechnen, zum Beispiel schneidet man $\begin{align} E_0 \end{align}$ und $\begin{align} E_4 \end{align}$ (der Parameter ist jeweils so gewählt, daß eine Variable verschwindet). $\begin{align} \begin{matrix}E_0: & & 2y & - & z & = & 3 \\ E_4: & 4x & & - & z & = & 3 \end{matrix} \end{align}$ Das lineare Gleichungssystem besitzt bereits Stufenform, so daß man mit der Wahl $\begin{align} z = s \end{align}$ unmittelbar $\begin{align} y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} s \end{align}$ und $\begin{align} x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} s \end{align}$ erhält. Die Schnittgerade $\begin{align} g \end{align}$ von $\begin{align} E_0 \end{align}$ und $\begin{align} E_4 \end{align}$ besitzt daher die Parameterdarstellung $\begin{align} g: \ \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ s \in \mathbb{R} \end{align}$ Jetzt muß allerdings noch überprüft werden, daß $\begin{align} g \end{align}$ in allen $\begin{align} E_a \end{align}$ liegt. Es sollten beim Einsetzen von $\begin{align} x,y,z \end{align}$ aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung $\begin{align} E_a \end{align}$ die Parameter aus der Rechnung herausfallen und eine wahre Aussage entstehen.
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27.12.2021, 14:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vorteil bei der Methode mit allgemeinen Parametern liegt eben darin, dass der Beweis nicht nachher extra ausgeführt werden muss. Ein merkwürdiger Sachverhalt gab mir eine Weile zum Nachdenken: Die Gleichung 2x - y = 0 ist nicht etwa die der Schnittgeraden, sondern beschreibt eine Ebene. Die Schnittgerade muss zwar darin liegen, diese Ebene selbst ist aber nicht Teil der Schar. Das erscheint auf den ersten Blick unlogisch. Irgendwann macht es "klick", wenn man untersucht, was bei $\begin{eqnarray} a \to \infty \end{eqnarray}$ passiert .... ------------ Man kann das Ganze auch einmal in den R2 transferieren, die z-Terme weglassen, dann hat man eine Geradenschar, mit einem Schnittpunkt $\begin{eqnarray} S\left(\frac 3 4; \frac 3 2\right) \end{eqnarray}$ , der durchaus auf der Geraden y = 2x liegt. Diese Gerade gehört jedoch nicht zur Schar, sie ist als Grenzlage der Geraden in der Schar für $\begin{eqnarray} a \to \infty \end{eqnarray}$ anzusehen. Eine kurze Grenzwertberechnung bestätigt diesen Sachverhalt. [attach]54215[/attach] [attach]54216[/attach] Ob dies allerdings für lisa--- noch von Interesse sein wird, scheint ungewiss ... mY+
27.12.2021, 15:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreiben wir die Ebenengleichung einmal mit Hilfe des Skalarprodukts in Normalform. Damit sich auf der rechten Seite 6 ergibt, wählen wir einen passenden Vektor: $\begin{align} \text{()} \ \ E_a: \ \begin{pmatrix} 2a \\ 4-a \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ 4-a \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align}$ Im Ansatz $\begin{align} g: \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t \, \vec{u} \end{align}$ muß man jetzt nur einen zu $\begin{align} \begin{pmatrix} 2a \\ 4-a \\ -2 \end{pmatrix} \end{align}$ orthogonalen Vektor $\begin{align} \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{align}$ wählen, und in $\begin{align} \text{()} \end{align}$ herrscht Gleichheit: $\begin{align} 2au_1 + (4-a) u_2 -2u_3 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 2u_1 - u_2 \right) a + 4u_2 - 2u_3 = 0 \end{align}$ Jede Wahl von $\begin{align} u_1,u_2,u_3 \end{align}$ , die die letzte Gleichung erfüllt (nicht alle drei zugleich 0), führt zu einer Geraden in $\begin{align} E_a \end{align}$ . Wenn diese Gerade von $\begin{align} a \end{align}$ unabhängig sein soll, muß die Klammer 0 werden. Das geht zum Beispiel mit $\begin{align} u_1 = 1 \end{align}$ und $\begin{align} u_2 = 2 \end{align}$ .
04.01.2022, 13:36	lisa---	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank, das war sehr hilfreich!

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