Rang einer Matrix beim Lösen des LGS vs Gauss

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g98rfnfgdgdsf Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix beim Lösen des LGS vs Gauss
Meine Frage:
Um die Lösbarkeit eines LGS zu bestimmten, vergleicht man den Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Meine Ideen:
Was ich nicht blicke: Um den Rang zu bestimmen, nimmt man ja das Gauß-Verfahren und bringt alles in Zeilenstufenform.

Aber genau das mache ich ja, um das LGS an sich zu lösen. Und dann sehe ich ja, ob es lösbar ist oder nicht.

Was nützt denn der Rang, wenn ich dabei das LGS eh gleich schon löse?
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann zeigen dass ein LGS genau dann eindeutig lösbar ist, wenn der Rang voll ist. Und der Rang ist wiederum genau dann voll, wenn die Determinante ungleich Null ist.
Mit dem Wissen der Determinante kannst du also ein LGS von vornherein auf Lösbarkeit untersuchen.
Ob dies weniger aufwändig ist als den Rang mittels Gaußverfahren zu bestimmen, ist dann zu entscheiden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die erweiterte Matrix ist in der Regel nicht quadratisch, auch für die Koeffizientenmatrix itrifft das nicht immer zu.
Dann gilt dort jene Definition ihres Ranges, nach der der Rang gleich der größtmöglichen Dimension einer Unterdeterminante ist, welche ungleich Null ist.

mY+
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Zeilenstufenform lässt sich zwar die Lösung durch rückwärtiges Einsetzen berechnen. Sie liegt, im Gegensatz zum Rang, im allgemeinen aber noch nicht vor.
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