Grenzwert komplexer Funktionen

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xyz01 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert komplexer Funktionen
Meine Frage:
Hallo, wir sollen den Grenzwert der Funktion {(arctan(2x))^{3}}/{x sin(1-cos(x))} für x -> 0 bilden. Ich habe es mit umformen versucht und mit LHospital, aber es funktioniert nicht. LH müsste eigentlich gehen aber die Ableitungen werden zusehends eklig.

Meine Ideen:
S.o.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mit begrenzten Potenreihenentwicklungen arbeiten. Man berechnet gerade so viele Glieder wie zur Ermittlung des Grenzwerts nötig.











Jetzt im gegebenen Ausdruck alles zusammenfügen und wegkürzen, dann kann man den Grenzwert ablesen.

EDIT (Alternative)

Man kann auch alles auf bekannte Differenzenquotienten zurückführen:













Der erste Bruch (der in der dritten Potenz) ist der Differenzenquotient der Arcustangensfunktion an der Stelle 0, mit durch substituiert.

Der zweite Bruch ist der Kehrwert des Differenzenquotienten der Sinusfunktion an der Stelle 0, mit durch substituiert.

Der dritte Bruch (der in der zweiten Potenz) ist der Kehrwert des Differenzenquotienten der Sinusfunktion an der Stelle 0.

Der Rest ist klar.
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