Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe?

30.12.2021, 11:11	corporal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe? Ist dieser Beweis korrekt?
30.12.2021, 11:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe? Die Idee ist die richtige, aber dein $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ ist nicht wohldefiniert. Was du willst ist iterativ Elemente zu $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ hinzuzufügen, wobei Elemente nur hinzugefügt werden, wenn das Inverse noch nicht drin ist. Das kannst du aber nicht so schreiben. Nimm $\begin{eqnarray} G = \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray}$ als Beispiel: Ist nun $\begin{eqnarray} 2\in G_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 3 \in G_1 \end{eqnarray}$ ? Deine Definition sagt nicht welches davon drin ist.
30.12.2021, 14:38	corporal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe? Wie könnte ich denn $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ korrekt definieren, mit meiner Idee?
30.12.2021, 15:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe? Ich hatte eben schon nachgedacht wie man das schön machen könnte. Mein aktuell bester Vorschlag: Sei $\begin{eqnarray} G = \{ e, g_1, g_2, \ldots, g_n\} \end{eqnarray}$ . Da für jedes $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ ein verschiedenes Element $\begin{eqnarray} h \in G \end{eqnarray}$ existiert, mit $\begin{eqnarray} gh = e \end{eqnarray}$ , können wir annehmen, dass $\begin{eqnarray} g_i \cdot g_{i+1} = e \end{eqnarray}$ für alle ungeraden $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Durch diese Sortierung (abstrakt, aber ab diesem Moment fest vorgegeben) können wir setzen $\begin{eqnarray} G_1 = \bigcup_{ i \text { ungerade } } { g_i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_2 = \bigcup_{ i \text { gerade } } { g_i} \end{eqnarray}$ .
30.12.2021, 15:07	corporal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe? Okay, danke, das sieht schon ganz gut aus. Denkst du das ist formal korrekt mit der Annahme $\begin{eqnarray} g_{i}g_{i+1} \end{eqnarray*}$ ? Und eine Kleinigkeit bleibt. Um die kleinen g's am Ende deines Satzes würden ja noch Mengenklammern drum herum gehören?
30.12.2021, 18:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das eine korrekte Multiplikation über alle Elemente einer endlicher Gruppe? Formal korrekt ja. Dass es "wohldefiniert" ist, kannst du zeigen. Es ist äquivalent dazu, dass jedes Element hat ein eindeutiges Inverse hat. Und ja, Mengenklammern müssen da noch dazu, die habe zwar geschrieben, aber LaTeX hatte sie nicht angezeigt (man muss \{ \} schreiben statt { }).
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30.12.2021, 19:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee hinter dem Beweis ist doch sehr einfach. Die Schwierigkeiten entstehen nur deshalb, weil man glaubt, das in irgendeiner Weise formalisieren zu müssen. Das ist meiner Ansicht nach nicht nötig. Ich würde deshalb sagen: Da die kommutative Gruppe nach Voraussetzung keine Involutionen besitzt, kann man ihre von $\begin{align} e \end{align}$ verschiedenen Elemente in Paare zueinander inverser Elemente gruppieren. Das Produkt eines jeden solchen Paares ergibt $\begin{align} e \end{align}$ , also ist auch das Produkt sämtlicher Gruppenelemente $\begin{align} e \end{align}$ . Mir würde das als Beweis genügen. Aber ich bin ja auch kein Universitätsprofessor. Wer es ein wenig formaler haben will, könnte eine Äquivalenzrelation auf $\begin{align} G \end{align}$ definieren: Die Äquivalenzklassen seien gerade die Mengen aus einem Element und seinem Inversen. Es sei $\begin{align} H \end{align}$ ein Vertretersystem der Äquivalenzklassen: $\begin{align} \prod_{g \in G} g \ = \ e \ \cdot \! \! \prod_{h \in H \setminus \{ e \}} \left( h^{} h^{-1} \right) \ = \ e \ \cdot \! \! \prod_{h \in H \setminus \{ e \}} e \ = \ e \end{align}$ Wenn ich ehrlich bin, ist das natürlich auch nichts anderes, als was ihr bereits diskutiert habt. Aber ich bin ja sowieso der Ansicht, daß die gesamte Formalisierung überflüssig ist.

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