Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen

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30.12.2021, 13:17	Peter350	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Die reelle Zeta Funktion z(x) hat die Asymptote y = 1 für x -> unendlich. Dafür suche ich den Beweis. $\begin{eqnarray} z(x) = 1 + \sum\limits_{k=2}^{\infty} k^{-x} \end{eqnarray}$ Ich muss also zeigen, dass die rechts stehende Reihe den Grenzwert 0 hat, wenn x gegen unendlich strebt. Das soll sehr einfach sein ... allein ich sehe das nicht . Kann mir jemand helfen?
30.12.2021, 13:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Du kannst abschätzen $\begin{eqnarray} z(x) - 1 =\sum_{k=2}^\infty k^{-x}\leq \sum_{k=2}^\infty 2^{-x} \end{eqnarray}$ . Ich würde dann zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^\infty 2^{-n} \to 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ natürlich gegen unendlich. Das kannst du z.B. über bekannte Sätze wie "Satz von Lebesgue" oder explizit über geometrische Reihe zeigen. Der Rest ist dann Monotonie.
30.12.2021, 14:34	Peter350	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Das verstehe ich leider nicht so ganz. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^-n \end{eqnarray}$ In deser Summe sind doch die Summanden konstant und größer als 0 und damit ist diese Summe für jedes n divergent. Damit kann ich doch den Limes für n -> gar nicht bilden ... und somit konvergiert das auch nicht gegen 0. Könnte deine Abschätzung ein bissl zu grob ausgefallen sein. Oder übersehe ich da etwas Entscheidendes.
30.12.2021, 14:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Da hatte ich einen massiven Denkfehler/dreher... Der Satz von Lebesgue funktioniert auch ohne diese überflüssige (und divergente) Abschätzung. Elementar würde es so rum funktionieren: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^\infty k^{-(n+1)} \sum_{k=2}^\infty\frac 1 k k^{-n} \leq \frac 1 2\sum_{k=2}^\infty k^{-n} \leq [..] \leq \frac 1 {2^{n-1} } \sum_{k=2}^\infty k^{-2} \end{eqnarray}$ .
30.12.2021, 15:22	Peter350	Auf diesen Beitrag antworten »
Reele Zeta Funktion - Asymptote beweisen Ok, vielen Dank. Damit ist jetzt bewiesen, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} k^{-n} \end{eqnarray}$ für jedes n > 1 (absolut) konvergent ist und der Grenzwert für n -> unendlich gegen 0 konvergiert. Das ist schon recht nahe an dem, was ich beweisen möchte. Aber leider noch nicht ganz das, was ich brauche: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^{\infty} \ k^{-n} \end{eqnarray}$ Diese Summe ist für n > 1 (absolut) konvergent. Aber wieso ist der Grenzwert für n gegen unendlich gleich 0 ? Kann es sein, dass ich irgendetwas Triviales übersehe ....
30.12.2021, 18:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Die Idee war $\begin{eqnarray} 0 \leq \sum_{k=2}^\infty k^{-(n+1)} \sum_{k=2}^\infty\frac 1 k k^{-n} \leq \frac 1 2\sum_{k=2}^\infty k^{-n} \leq [..] \leq \frac 1 {2^{n-1} } \sum_{k=2}^\infty k^{-2} \to 0 \end{eqnarray}$ . Per Einschlusskriterium muss also die Folge dadrin gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ konvergieren.
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31.12.2021, 08:36	Peter350	Auf diesen Beitrag antworten »
Reele Zeta Funktion - Asymptote beweisen Das ist vollkommen richtig. Die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^{\infty} k^{-(n+1)} \end{eqnarray}$ ist damit zwischen 0 und einem positiven, gegen 0 konvergierenden Ausdruck eingeschlossen. Ihr bleibt also gar nichts anderes übrig als auch gegen 0 zu konvergieren, wenn n gegen unendlich strebt. Das verstehe ich natürlich. Aber das ist nicht der gesuchte Beweis. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^{\infty} k^{-n)} \end{eqnarray}$ für n -> unendlich gegen 0 konvergiert. Und diese Summanden sind größer als die Summanden in der ersten obigen Reihe. Insbesondere kann man jetzt nicht mehr den Faktor 1/k durch 1/2 abschätzen und vor das Summenzeichen ziehen. Sorry, vielleicht übersehe ich irgendetwas Naheliegendes ... aber mir scheint, da fehlt noch ein Schritt in der Beweiskette.
31.12.2021, 10:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Die Wahl von $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ war "willkürlich": Eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ konvergiert genau dann, wenn die Folge $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_n = a_{n+1} \end{eqnarray}$ konvergiert (sogar gegen den gleichen Grenzwert). Das folgt sofort aus der Definition von Konvergenz. Man kann sich vorstellen die Folge hat ihr erstes Element verloren und sonst identisch. Da die ersten vielen Folgenglieder bei der Konvergenz unerheblich sind, folgt das. Alternativ hätte genauso gut schreiben können $\begin{eqnarray} 0 \leq \sum_{k=2}^\infty k^{-n}= \sum_{k=2}^\infty\frac 1 k k^{-(n-1)} \leq \frac 1 2\sum_{k=2}^\infty k^{-(n-1)} \leq [..] \leq \frac 1 {2^{n-2} } \sum_{k=2}^\infty k^{-2} \to 0 \end{eqnarray}$ . Hier hat man direkt die ungeshiftete Folge, aber ich musste eine Klammerung in der ganzen Ungleichungskette mehr setzen. Passiert bei solchen Abschätzung in solcher Regelmäßigkeit, dass ichs instinktiv so rum gemacht hab
31.12.2021, 15:55	Peter350	Auf diesen Beitrag antworten »
Relle Zeta Funktion - Asymptote beweisen Jetzt bin ich vollends zufrieden. Danke für deine Geduld ! Alles in allem ist das ein sehr schöner elementarer Beweis .... ich bin begeistert ! Happy New Year ....

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