Fundamentalsatz über lineare Ungleichungen |
| 30.12.2021, 18:34 | XMathe123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Fundamentalsatz über lineare Ungleichungen Es seien a1,...,an,b?R^m.Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen (i)b ist nichtnegative Linearkombination linearunabhängiger Vektoren aus {a1,...,an}. (ii)Es existiert eine Hyperebene {x e R^m:c*x=0},die t?1 linearunabhängige Vektoren aus{a1,...,an} enthält,sodass cb<0 und ca1?0,...,can?0. Dabei ist t=rang(a1,...,an,b) Beweis: Der Beweis ist erbracht, wenn man nachweist, daß dieser Prozeß stoppt. Dazu sei mit D_k die Menge D in der k-ten Iteration bezeichnet. Wenn der Prozeß nicht stoppt, dann existieren k < l mit D_k = D_l, da es nur endlich viele Varianten von D gibt. Es sei r der höchste Index, f¨ur den ar in einer der Iterationen k,k +1,...,l ?1 aus D entfernt wurde. Diese Iteration sei die mit Nummer p. Wegen D_k = D_l muß ar auch in einer Iteration q mit k ? q < l zu D hinzugefügt worden sein. Wegen der Maximalität von r gilt (1) D_p ?{ar+1,...,an} = D_q ?{ar+1,...,an} Meine Frage: Wieso kann man folgern, dass bei (1) diese Gleichung anhand der Maximalität von r gilt? Meine Ideen: Meine Idee: Die Schnittmenge ist die leere Menge, was für mich irgendwie auch keinen Sinn ergibt. Deswegen wäre ich für jede Hilfe dankbar. |
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