Extremwertaufgabe berechnen

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01.01.2022, 15:47	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe berechnen Meine Frage: A1) Ein Dorf möchte einen Fußballplatz mit einer 400m langen Laufbahn anlegen. Dabei soll der Sportplatz eine maximale Fläche haben. Wie lang muss der Platz sein und wie groß ist die maximale Fläche des Platzes? a) Benenne die benötigten Teile in der Zeichnung. b) Stelle die Hauptbedingung auf. c) Stelle die Nebenbedingung auf. d) Stelle die Zielfunktion auf. e) Ermittele die Abmaße und die Fläche des Fußballfelds bei maximaler Größe Meine Ideen: Ich hätte als Fläche und damit als Hauptbedingung $\begin{eqnarray} A=a\cdot b+\pi \cdot r^{2} \end{eqnarray}$ . Diese ist aber glaub ich falsch. Worin liegt das Problem? Frohes neues Jahr übrigens.
01.01.2022, 16:30	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Es wird so gemeint sein: [attach]54244[/attach] Dabei soll der Umfang dieser Figur 400 m betragen. Der Kreisradius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ wäre dann auch durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ auszudrücken, damit insgesamt nur 2 Variablen vorhanden sind.
01.01.2022, 16:34	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Danke, Und wie bilde ich die Hauptbedingung?
01.01.2022, 16:39	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Die Hauptbedingung ist an sich schon richtig, aber gucke in der Skizze, wo der Kreisradius liegt und wie er durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ausgedrückt werden kann. ist nicht mehr gültig. Ich muß mich dahingehend korrigieren, dass nicht der Sportplatz insgesamt, sondern nur das Fußballfeld maximal werden soll. Dann lautet die Hauptbedingung natürlich anders.
01.01.2022, 18:11	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Ich checke nicht was sie mir da erklären wollen. Könnten sie ein bisschen präzise sein?
01.01.2022, 18:18	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Präziser heißt das: Das Fußballfeld mit der (Spiel-)Fläche $\begin{eqnarray} A~=~... \end{eqnarray}$ soll maximal werden (Hauptbedingung) unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} ...~=~400~m \end{eqnarray}$ Die Lücken müssen jetzt noch ausgefüllt werden. Das solltest Du aber selbst tun, weil es ein Teil des Verständnisses ist.
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01.01.2022, 18:34	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Ich hab die Lösung $\begin{eqnarray} A=a\cdot b+\pi \cdot r^{2} \end{eqnarray}$
01.01.2022, 18:39	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Also das ist ja nun kein Fortschritt zum ersten (inzwischen korrigierten) Ansatz. Noch präziser: Hauptbedingung $\begin{eqnarray} A=a\cdot b \end{eqnarray}$ maximal Nebenbedingung $\begin{eqnarray} \text{Umfang der gesamten Figur} = 400 ~m \end{eqnarray}$
01.01.2022, 18:53	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen verstehe ich leider nicht. Warum A=a*b???
01.01.2022, 18:56	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Weil selbiges die Fläche des rechteckigen Spielfeldes ist.
01.01.2022, 19:10	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Ich hab die richtige Lösung verstehe sie aber nicht...
01.01.2022, 19:27	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe berechnen Nun, da steht alles drin. Nur die Buchstaben a und b sind gegenüber der obigen Skizze vertauscht. 1) Die zu maximierende Größe (Spielfläche) ist die Hauptbedingung. $\begin{eqnarray} A(a,b)=a\cdot b \end{eqnarray}$ Diese Funktion ist noch von 2 Variablen abhängig, deswegen müssen wir eine davon durch die andere ausdrücken. Dafür gibt es die 2) Nebenbedingung Umfang der Figur. Der Umfang setzt sich zusammen aus 2 Seitenlinien der Spielfläche + 2 Halbkreislinien. $\begin{eqnarray} U=2b+2\cdot \frac{a}{2}\pi=400~m \end{eqnarray}$ Die Nebenbedingung wird nach $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ aufgelöst und das Ergebnis in $\begin{eqnarray} A(a,b) \end{eqnarray}$ eingesetzt. Dann hat man $\begin{eqnarray} A(a) \end{eqnarray}$ , was nur noch von 1 Variablen abhängt. Das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , für das $\begin{eqnarray} A(a) \end{eqnarray}$ maximal wird, erhält man mit Differentialrechnung. $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ erhält man aus der Nebenbedingung.
01.01.2022, 20:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Anhang eine dynamische Zeichnung. Man kann sie mit Euklid öffnen. Noch eine Bemerkung zur Zielfunktion. Diese ist quadratisch in $\begin{align} a \end{align}$ . Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel, wie man dem Koeffizienten von $\begin{align} a^2 \end{align}$ in der Polynomform entnimmt. Das Maximum muß daher in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen der Parabel liegen. Die kann man an der faktorisierten Form aber ablesen.

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