Nullstellen einer Funktion

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02.01.2022, 10:51	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen einer Funktion Hallo Leute, Es gilt für $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \rightarrow\mathbb R, f(x):=x^{n+2}-x^2-1 \end{eqnarray}$ zu zeigen, dass es genau eine NS im Intervall $\begin{eqnarray} \left[1,1+1/n\right] \end{eqnarray}$ gibt. und höchstens eine negative NS. Man soll hier die Bernoulli-Formel verwenden, also dass $\begin{eqnarray} 1+x^n\geq 1+nx \end{eqnarray}$ ist und man kann ohne Beweis verwenden, dass $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend für ungerade n und für gerade n auf dem Intervall $\begin{eqnarray} \left(-\infty, 0\right) \end{eqnarray}$ streng monoton fallend bzw. auf $\begin{eqnarray} \left(0,-\infty \right) \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist. Ich seh denn Wald vor Bäumen nicht. Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
02.01.2022, 11:32	G020122	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Vlt. hilft weiter: $\begin{eqnarray} x^{n+2}= x^nx^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2(x^n-1)-1 = 0 \end{eqnarray}$
02.01.2022, 16:50	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion okay,danke, also was mir auf jedenfall dadurch schon klar geworden ist, ist dass es keine negative Nullstelle gibt wenn n ungerade ist. Und was auch ersichtlich ist, wenn man mit Monotonie und Stetigkeit argumentiert, dass es eine positive NS geben muss... aber wieso ausgerechnet zwischen 1 und 1/n?? ich hab das ganze auch nochmal umgestellt $\begin{eqnarray} x^{n} +1=\frac{1}{x^2} +2 \end{eqnarray}$ muss ich hier jetzt Bernoulli drauf anwenden? Für x>-1??
02.01.2022, 16:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ich bin mir unsicher, worauf Gast hinaus wollte. Das ist aber eine simple Anwendung des Zwischenwertsatzes. Setze die linke und rechte Grenze in die Funktion ein. Bei $\begin{eqnarray} x =1 \end{eqnarray}$ kann man es sofort ausrechnen und bei $\begin{eqnarray} x = 1 + \frac 1 n \end{eqnarray}$ kann man Bernoulli bemühen, um zu zeigen, dass der Funktionswert positiv ist.
02.01.2022, 17:17	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ah ja. Super Also hab ich die eine positive Nullstelle! Und wenn x gerade ist, ist die Funktion symmetrisch und deshalb gibt es dann genau eine negative Nullstelle, oder?
02.01.2022, 17:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Stimmt. Für die Eindeutigkeit musst du natürlich noch sauber argumentieren. Da du das aber schon angesprochen hast, nehme ich an, du weißt wie es geht/ hast es für dich zufriendenstellend gemacht.
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03.01.2022, 12:37	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ja also wegen der Eindeutigkeit würde ich halt einfach argumentieren, dass $\begin{eqnarray} x^{n+2} \end{eqnarray}$ größer ist als $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ für x>1, und aus der strengen Monotonie von $\begin{eqnarray} x^{n+2} \end{eqnarray}$ folgt dann die Eindeutigkeit.
03.01.2022, 13:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Gefährliche Argumentation. Für $\begin{eqnarray} x > 2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x > 2\sin x \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} x+2\sin(x) \end{eqnarray}$ sieht so aus:
03.01.2022, 18:23	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ah ja mist, stimmt okay danke. Ich glaube jetzt hab ich durch Termumformung das richtige raus. Also das Viech ist ja dann monoton steigend, wenn f(x+k)-f(x)>0 für k>0 ist Mit der Formel von Gast, komme ich auf $\begin{eqnarray} (x+k)^2\cdot ((x+k)^n-1)-1 -(x^2\cdot (x^n-1) -1)=<br /> (x+k)^2\cdot ((x+k)^n-1) -x^2\cdot (x^n-1)\geq <br /> x^2\cdot ((x+k)^n-1)-x^2\cdot (x^n-1)+k^2\cdot ((x+k)^n-1)<br /> \geq k^2\cdot ((x+k)^n-1) \end{eqnarray}$ und das ist für x>1 auf jedenfall positiv. Ich hoffe jetzt ist es richtig....
03.01.2022, 19:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ohne es im Detail nachzuprüfen: Warum nimmst du nicht einfach die Ableitung in $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ und zeigst mithilfe der zweiten Ableitung, dass es von da aus nur größer wird
03.01.2022, 19:58	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ja das würde ich gerne... aber ich darf nicht. Wir hatten Ableitungen und zweite Ableitungen noch nicht in der Vorlesung
03.01.2022, 20:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Dann etwas abstrakter: $\begin{eqnarray} f(x):=x^{n+2}-x^2-1 = x^2(x^n - 1) - 1 \end{eqnarray}$ . Für positive(!) Funktionen gilt: Ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ mononton, dann auch das Produkt $\begin{eqnarray} gh \end{eqnarray}$ (hier $\begin{eqnarray} g=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h = x^n -1 \end{eqnarray}$ ). Ebenso ist Summe von monotonen Funktionen g,h wieder monoton (unabhängig vom Vorzeichen). Hier $\begin{eqnarray} g = x^2(x^n - 1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h = -1 \end{eqnarray}$ .
04.01.2022, 15:56	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion Ah ja. Ich glaube jetzt klappts! Dankschön!

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