Inverse Funktion berechnen

02.01.2022, 11:27	DerDampfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Funktion berechnen Folgende Funktion: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} \end{eqnarray}$ Die Lösung ist anscheinend: $\begin{eqnarray} \pm \frac{\sqrt{2x-1}}{x} \end{eqnarray}$ . Aber ich komme da überhaupt nicht drauf: ich mache als erstes: $\begin{eqnarray} y= \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2} \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} x^2y= 1 - \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Dann quadrieren: $\begin{eqnarray} x^4y^2= 1 - (1-x^2) \end{eqnarray}$ Das ergibt: $\begin{eqnarray} x^4y^2= x^2 \end{eqnarray}$ Die Variablen jeweils auf eine Seite: $\begin{eqnarray} \frac{x^4}{x^2}=\frac{1}{y^2} \end{eqnarray}$ Vereinfachen: $\begin{eqnarray} x^2=\frac{1}{y^2} \end{eqnarray}$ Wurzel: $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ Variablen tauschen: $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Was mache ich da falsch?
02.01.2022, 11:45	G020122	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Funktion berechnen $\begin{eqnarray} (a-b) ^2 = a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} nicht: a^2-b^2 \end{eqnarray}$
02.01.2022, 12:22	DerDampfi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Funktion berechnen Ah, Mist... das war doof. Danke! Ich habe dann $\begin{eqnarray} x^{4}y^2 = 1- 2\sqrt{1-x^2}+(1-x^2) \end{eqnarray}$ Das ist: $\begin{eqnarray} x^{4}y^2 = -x^2- 2\sqrt{1-x^2}+2 \end{eqnarray}$ So richtig weiß ich aber dann nicht weiter. Ziel ist es ja, nach x aufzulösen. Ich hab dann mal Folgendes versucht: $\begin{eqnarray} x^{4}y^2 + x^2 -2 = - 2\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ und dann noch mal quadriert. Dann krieg ich aber links ewig viele Terme, das sieht unnötig kompliziert aus. Wie mache ich denn am besten weiter?
02.01.2022, 13:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So besser gar nicht, denn die Wurzel kriegst Du nur dann durch Quadrieren weg, indem sie alleine auf einer Seite steht. Daher solltest Du sie als erstes separieren.
02.01.2022, 13:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser ist es, du lässt die Wurzel alleine auf einer Seite und quadrierst erst dann! $\begin{eqnarray} \sqrt{1 - x^2} = 1 - x^2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 - x^2 = 1 - 2x^2y + x^4y^2\ \big\| \ -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2(2y - 1) -x^4y^2 = 0 \end{eqnarray}$ Nun links $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden! Edit: Da bei der gegebenen Funktion x (im Nenner!) nicht Null sein kann, ist es möglich, in der Gleichung $\begin{eqnarray} x^2(2y - 1)= x^4y^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x^2 \neq 0 \end{eqnarray}$ zu dividieren. mY+
02.01.2022, 18:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} y = \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} = \frac{1}{1 + \sqrt{1-x^2}} \end{align}$ Um die Gleichheit einzusehen, schreibe man den Term zunächst über dem gemeinsamen Nenner und erweitere mit Blick auf die dritte binomische Formel. Am letzten Ausdruck erkennt man, daß sich bei $\begin{align} x=0 \end{align}$ eine hebbare Lücke befindet. Ebenso liest man ab, daß die Funktion in $\begin{align} I = \left( 0,1 \right] \end{align}$ streng monoton wächst und dieses Intervall eineindeutig auf das Intervall $\begin{align} J = \left( \frac{1}{2} , 1 \right] \end{align}$ abbildet. Bezogen auf $\begin{align} I \end{align}$ kann nun die Umkehrfunktion $\begin{align} J \to I \end{align}$ leicht ermittelt werden. Mit Symmetriebetrachtungen erhält man ebenso die Umkehrfunktion, die in das Intervall $\begin{align} I' = \left[ -1,0 \right) \end{align}$ abbildet: $\begin{align} J \to I' \end{align}$
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