Dualraumaufgabe

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02.01.2022, 16:32

HiBee123

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Dualraumaufgabe

Hi!
Kann mir vielleicht jemand die Aufgabe erklären??

02.01.2022, 18:10

Leopold

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Du solltest dir zunächst die Wirkungsweise und den Zusammenhang der verschiedenen Abbildungen klarmachen. Das Diagramm zeigt dir das.

[attach]54259[/attach]

Bei a) geht man gerade drauf los:

$\begin{align*} f \in \operatorname{Ker}(\varphi^*) \ \ \Leftrightarrow \ \ \varphi^*(f) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ f \circ \varphi = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \ldots \end{align*}$

Die hier auftretenden Nullen sind die 0-Abbildungen, also die Linearformen, die die Vektorraumelemente auf die Körper-Null abbilden. Wie geht das nun weiter?

03.01.2022, 12:35

HiBee123

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Oh wow, danke für das Bild Freude

Ja eigentlich folgt daraus doch jetzt direkt die Behauptung. f eingeschränkt auf Bild von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ muss die Nullabbildung sein.

04.01.2022, 12:48

HiBee123

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Hallo, ist da noch wer?
Reicht das jetzt aus für die a? Und wie gehe ich beim Bestimmen der Dimensionen vor?

04.01.2022, 18:11

IfindU

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Da Leopold nicht da ist, ja, daraus folgt sofort a).

Die b) ist eine ziemlich direkte Folgerung von a. Seien $\begin{eqnarray*} (w_1, \ldots, w_k) \subset W \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Dann kann man diese zu einer Basis $\begin{eqnarray*} (w_1, \ldots, w_n) \subset W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ergänzen. Die duale Basis spannt nun $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ auf.

06.01.2022, 16:57

HiBee123

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Aber wieso ergänzt man dieses Im(phi) aus gerchnet mit Elementen aus dem Ker(phi*) Ich versteh denn zusammenhang leider noch nicht...

06.01.2022, 17:12

IfindU

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RE: Dualraumaufgabe
Die Idee:
$\begin{eqnarray*} \dim \{ f \in W^* \} = \dim W \end{eqnarray*}$ , weil der Daumraum genau so groß ist wie der primitive Raum.

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im} (\varphi) = 0 \end{eqnarray*}$ schränkt die Funktionen auf $\begin{eqnarray*} dim(\mathrm{Im} (\varphi)) \end{eqnarray*}$ Richtungen ein. D.h.
$\begin{eqnarray*} \dim \{ f \in W^*|f =0 \text{ auf Im}(\varphi)\}= \dim \{ f \in W^* \} - dim(\mathrm{Im} (\varphi)) \end{eqnarray*}$ .

Um das zu formalisieren muss man das noch einmal sauber argumentieren, ich wollte das mithilfe der Basis machen und ich habe eine genommen, wo die obigen Aussagen möglichst natürlich zu beweisen sind.

07.01.2022, 11:57

HiBee123

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RE: Dualraumaufgabe
Hallo Wink

Also ich hab mir das jetzt nochmal angesehen, auch meine Notizen von der Vorlesung und mithilfe eines Dimensionssatzes die c) gezeigt. Die a) ist auch klar, nur bei der b) hab ich immer noch das Gefühl mir fehlt irgendeine entscheidende Information.

Es gibt diesen Dimensionssatz über Unterräume, das
Dim U+Dim V/U = Dim V ist, weiter gibt es auch noch einen Satz zur Isomorphie,
das phi/Kern(phi) isomorph ist zu Bild(phi), aber im Beispiel ist ja vom Kern(phi*) die rede.

Ich verstehe auch den 1.Tipp dazu. Also ich nehme eine Basis von Bild(phi) und ergänze das zu einer Basis von W. Dass die duale Basis W* aufspannt haben wir leider noch nicht gezeigt... aber wir wissen ja dass Dim (W) =Dim (W*) , nach Anmerkung.

Vielleicht habe ich auch nur den Kommentar, dass die Bedingung f=0 auf Im(phi)=0 die Funktion einschränkt noch nicht ganz verstanden... wäre es vielleicht möglich, dass nochmal kurz zu erläutern? verwirrt

07.01.2022, 14:49

IfindU

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Zitat:

Original von IfindU
Da Leopold nicht da ist, ja, daraus folgt sofort a).

Die b) ist eine ziemlich direkte Folgerung von a. Seien $\begin{eqnarray*} (w_1, \ldots, w_k) \subset W \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Dann kann man diese zu einer Basis $\begin{eqnarray*} (w_1, \ldots, w_n) \subset W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ergänzen. Die duale Basis spannt nun $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ auf.

Nennen wir mal die duale Basis kanonisch $\begin{eqnarray*} (w_1^*, \ldots, w_n^*) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray*} i = 1, \ldots, k \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} w_i^*( \mathrm{Im} (\varphi) ) \neq \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ . Die sind also nicht in $\begin{eqnarray*} \mathrm{Ker(\varphi^*)} \end{eqnarray*}$ . Jedoch, nach Konstruktion, gilt für $\begin{eqnarray*} i = k+1, \ldots, n \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} w_i^*(\mathrm{Im}(\varphi)) = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ . Damit bildet $\begin{eqnarray*} \{ w_{k+1}^*, \ldots, w_{n}^*\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathrm{Ker(\varphi^*)} \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} \mathrm{dim} (\mathrm{Ker(\varphi^*)}) = n - k \end{eqnarray*}$ . Schlussendlich gilt $\begin{eqnarray*} n = \mathrm{dim}(W) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = \mathrm{dim(Im(}\varphi)) \end{eqnarray*}$

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