Kurvendiskussion bei Funktionenschar

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03.01.2022, 18:36	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion bei Funktionenschar Meine Frage: Guten Abend, ich bräuchte etwas Hilfe bei einer Aufgabe. Wir sollen alle Eigenschaften für die folgende Funktionenschar berechnen: fa,b(x)=ax^3+bx^2 Es wäre nett und sehr hilfreich, wenn jemand das mal vorrechnen könnte damit ich die Herangehensweise verstehe. Was ich weis ist, dass man die Substitution und Resubstitution verwenden muss. Am meisten Probleme habe ich bei der Betrachtung der Sonderfälle, vielleicht könnte man darauf auch eingehen. Ihr würdet mir damit echt helfen. Ich danke dem oder der jenigen die sich die Mühe macht schonmal im voraus. Meine Ideen: Ableitungen: 1. 3ax^2+2bx 2. 6ax+2bx 3. 6a Mein Ansatz für die Nullst.: 0=ax^3+bx^2 \|:a 0=x^3+(b/a)x^2 x^2=x^2(x^3+(b/a)) Ich hoffe es hilft. (wenigstens ein bisschen )
03.01.2022, 18:56	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Hallöchen! Ich glaub du hast dich beim Ansatz für die Nullstellen letzte Gleichung vertippt, und meintest eigentlich $\begin{eqnarray} 0=x^2\cdot (x+\frac{b}{a}) \end{eqnarray}$ , oder? Da kann man die Nullstellen schon recht gut ablesen (aber bevor du durch a teilst, müsstest du eigentlich den Fall a=0 nochmal gesondert betrachten.) Und die zweite Ableitung (vermutlich wieder ein Tippfehler ) sollte lauten 6ax+2*b
03.01.2022, 19:06	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Ja, du hast recht beim Ansatz habe ich mich vertippt (bei beiden Sachen die du gemeint hast). Ich bin einfach nicht mehr ganz so konzentriert, weil ich schon den ganzen Tag versuche diese Funktionenschar zu berechnen und so langsam einfach verzweifle. Sorry
03.01.2022, 19:51	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Könntest du die Eigenschaften mal berechnen? Ich verheddere mich die ganze Zeit. Muss auch nicht heute sein, wäre einfach cool, wenn du antworten könntest. Dir noch einen schönen Abend.
03.01.2022, 20:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Jo okay. Also ich würde zunächst mal die Nullstellen bestimmen. $\begin{eqnarray} 0=x^2\cdot(x+\frac {b}{a}) \end{eqnarray}$ Ein Polynom hat im Reellen höchstens so viele Nullstellen wie sein Grad, also 3. Wie lauten diese drei? Ist die Funktion zwischen den Nullstellen positiv oder Negativ? Wann ist die erste Ableitung 0? Dann liegt ein Extrempunkt von f vor. also wann ist 3ax^2+2bx=0 ? ruh dich aus und starte dann morgen in alter frische Wir entheddern das schon noch. dir auch schönen Abend
04.01.2022, 13:30	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Ok, danke erstmal, dass du mir hilfst. Ich habe die Nullstellen jetzt berechnet: $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$ Den Sonderfall mit a=0 habe ich auch gemacht und bin da auf das hier gekommen: Nullst: $\begin{eqnarray} x_N=0 \end{eqnarray}$ , kein Wendepunkt EP (Extremum): (0;0) DB: $\begin{eqnarray} x\in R \end{eqnarray}$ Wertebereich bin ich mir nicht ganz sicher. ViU: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pm \infty } bx^2=\pm \infty \end{eqnarray}$ Vielleicht könntest du mir bei der dritten Nullstelle erklären wie man da weiter vorgeht und die weiteren Schritte nennen. "Ist die Funktion zwischen den Nullstellen positiv oder Negativ?" Was ist damit gemeint? Ich würde mich über eine Antwort freuen. Danke nochmal.
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04.01.2022, 15:40	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Die Nullstellen sehen gut aus Erstmal der Fall, das a=0. Der Wertebereich hängt von b ab. Sei b=1, dann erhalten wir die bekannte Parabel: Was kann man über den Wertebereich von 1x^2 sagen? Was ist wenn b=-1 ist? Was ist allgemein, wenn b>0 oder b<0 ist? Wichtig ist auch zu beachten dass z.B. x^2 nicht negativ wird. Die Funktion ist ja stetig. Dass heißt für eine Nullstelle gibt es 3 Möglichkeit. Entweder wechselt die Funktion vom negativen ins positive oder vom positiven ins Negative, oder sie bleibt gleich. Die Frage lautet ist die Funktion von - $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ bis -b/a positiv oder negativ? Was ist mit dem Intervall von -b/a bis 0 und dem Intervall von 0 bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ? (Wir haben das in der Schule immer ,,Felder abstreichen" genannt.) Also nächsten Schritt würde ich dann die Nullstellen der Ableitung berechnen. $\begin{eqnarray} 3ax^2+2bx=0 \end{eqnarray}$ Man kann wieder x ausklammern. $\begin{eqnarray} x\cdot(3ax+2b)=0 \end{eqnarray*}$ p.s.: Ich weiß nicht ganz wo dein Problem liegt mit der dritten Nullstelle...? Die ist Prima.
04.01.2022, 19:13	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Könntest du die Nullstellen der 1. Ableitung bitte mal berechnen? Weiß nicht wie man weiter macht.
04.01.2022, 19:26	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Ja klar. Lass dich von den Buchstaben nicht verunsichern. Man rechnet mit a und b wie mit Zahlen. Also: $\begin{eqnarray} x\cdot (3ax+2b)=0 \end{eqnarray}$ Wir rechnen in den Reellen Zahlen und haben ein Produkt, deshalb gilt x=0 oder 3ax+2b=0 Dann haben wir auch schon die erste Nullstelle bei x=0. Für 3ax+2b=0 formen wir einfach um 3ax+2b=0 \|-2b 3ax=-2b \| :3a (wir hatten ja a=0 ausgeschlossen) x=-2b/3a und voilà haben wir die zweite Nullstelle Hoffe das hilft Was kann man jetzt sagen, liegen Minima, Maxima oder Sattelpunkte vor? Dafür wäre es gut die 3. Ableitung an der jeweiligen Stelle zu berchnen. 6ax+2*b, weißt du wieso?
04.01.2022, 21:12	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Passt das so? Oder fehlt irgendwas? Ich würde mich über eine Antwort freuen. Dir einen schönen Abend noch.
04.01.2022, 22:19	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Wegen der Trichotomie muss immer gelten x>0, x<0 oder x=0 bei den ersten liegt (wie du richtig bemerkt hast) Minimum oder Maximum vor, aber x=0, also den Sattelpunkt zu berechnen hast du vergessen. Beispiel hat in 0 die Ableitung 0, aber die zweite Ableitung ist auch null und so sieht dann ein Sattelpunkt aus (mit ein Bisschen Phantasie sieht das Ding aus wie ein Sattel, daher der Name) Sonst stimmt alles
04.01.2022, 23:34	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Ok, danke. Könntest du das dann mal bitt rechnen. Ich kann mir das nur schlecht vorstellen und schwarz auf weiß geht das glaube ich besser. Danke nochmal. Bis morgen.
05.01.2022, 11:23	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Ja klar. Schau, alles was gefehlt hat, war der Fall x=0, also f,ab(0)=2b=0, also wenn b=0 ist liegt hier ein Sattelpunkt vor und dass gleiche für $\begin{eqnarray} f_{a,b}(-\frac{2b}{3a}) \end{eqnarray}$ =-2b=0 also ebendfalls b=0 und dass ist ja auch irgendwie klar, da wenn b=0 ist, eine Funktion ax^3 übrigbleibt (wie im Bild unten) und dann hat die Funktion in 0 einen Sattelpunkt.
05.01.2022, 21:13	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Könntest du mir vielleicht auch nochmal erklären wie man den Funktionswert berechnet (also bei Extrema und Wendepunkt) und wie man das Krümmungsverhalten berechnet. Das wäre echt cool. Dir noch einen schönen Abend.
06.01.2022, 13:44	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Genauso wie du auch die zweite Ableitung bestimmt hast. Wir setzen den Wert, wo die Ableitung null ist in unsere Funktion ein. Also einmal bei x=0 fa,b(0)=a0^3+b0^2=? und einmal bei -2b/3a fa,b(-b/a)=a(-2b/3a)^3+b(-2b/3a)^2=? Jetzt musst du nur noch die ? Ausrechnen und du hast deine Extrema. Krümmungsverhalten hattest du schon ganz richtig. Wenn die 2 Ableitung negativ ist, liegt ein Maximum vor. (also eine rechtskurve) Wenn sie positiv ist, ein Minimum. (also eine linkskurve)
06.01.2022, 18:39	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Danke. Könntest du mir aber nochmal das Verhalten im unendlichen vorrechnen? Das rall ich nicht so ganz wie das bei diesem Beispiel helfen soll. Danke für deine ganze Hilfe bis hierhin und dir noch einen schönen Abend.
07.01.2022, 11:45	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Also, bei der Gleichung ax^3+bx^2 wächst die höchste Potenz am stärksten wenn es Richtung unendlich geht. Wichtig ist also nur der Term ax^3 Sei a>0 $\begin{eqnarray} x\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} ax^3\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ Was ist wenn $\begin{eqnarray} x\rightarrow-\infty \end{eqnarray}$ ? Und jetzt selbige Überlegungen nochmal für a<0 Und zu guter Letzt wenn a=0? hier muss man dann den restterm bx^2 betrachten.
08.01.2022, 15:57	karotte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion fa,b(-b/a)=a(-2b/3a)^3+b(-2b/3a)^2=? Könntest du mir hier bitte nochmal helfen und meinst du bei x=-b/a oder x=-2b/3a. Danke für deine Hilfe.
09.01.2022, 17:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder noch. Du sollst NICHT für x = ... einsetzen, sondern lediglich das Verhalten von fa,b(x) bei a > 0 oder a < 0 oder a = 0 für x gegen +/- unendlich betrachten. Also nimm die Fälle: a > 0, x --> +unendlich oder x --> -unendlich a < 0, x --> +unendlich oder x --> -unendlich a = 0, dann liegt es an b. Wohin geht x^2 in jedem Fall (gegen +/- unendlich)? mY+
10.01.2022, 22:19	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Ach so au weh, tut mir leid, da hatte ich mich verschrieben. ich meinte natürlich: fa,b(-2b/3a)=a(-2b/3a)^3+b(-2b/3a)^2=? Da wo halt die Ableitung 0 ist. In die ursprüngliche Gleichung eingesetzt erhälts du die Extrema

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