Keine 2 benachbarten ungeraden Ziffern in der Dezimaldarstellung

04.01.2022, 09:19	abcdg1	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine 2 benachbarten ungeraden Ziffern in der Dezimaldarstellung Hey, ich hoffe man kann es lesen, wenn man draufklickt. Ist meine Lösung richtig? Wenn nein, wo liegen die Fehler? Ich habe Fallunterscheidungen (4-stellig, 3-stellig, 2-stellig, 1-stellig) durchgeführt, weil ich mir nicht sicher war, ob führende Nullen erlaubt sind (also z.B. 621 entspricht 0621). Ist eine Fallunterscheidung notwendig? [attach]54267[/attach]
04.01.2022, 09:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis 4999 ist richtig, aber du hättest es dir etwas einfacher machen können. Führende Nullen beeinträchtigen nämlich nicht die hier betrachtete Eigenschaft "keine zwei benachbarte Ziffen sind ungerade": 614 erfüllt diese Eigenschaft ebenso wie 0614. 514 erfüllt diese Eigenschaft ebenso nicht wie 0514. Daher hättest du auch gleich mit vierstelligen Zahlen inklusive evtl. führender Nullen rechnen können, ansonsten genauso mit Inklusion/Exklusion, das ergibt Anzahl $\begin{eqnarray} 10000 - 3\cdot 2500 + 2\cdot 1250 + 625 - 625 - 1 = 4999 \end{eqnarray}$ (das -1 am Ende, weil 0000 nicht mitgezählt werden darf).
04.01.2022, 10:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder von der anderen Seite: Es gibt die folgenden 8 Muster von gerade (g) und ungerade (u), bei denen keine zwei ungeraden nebeneinander stehen: gggg uggg, gugg, ggug, gggu ugug, gugu, uggu Wenn man 0000 mitzählt, gibt es von jeder Sorte $\begin{align} 5^4 \end{align}$ Stück, die gesuchte Anzahl ist folglich $\begin{align} 8 \cdot 5^4 = 5000 \end{align}$ . Oder leicht variiert: Es gibt $\begin{align} 2^4 = 16 \end{align}$ g-u-Muster. Von jedem g-u-Muster gibt es gleich viele Realisierungen, nämlich jeweils $\begin{align} 5^4 \end{align}$ . Da für die Hälfte der g-u-Muster, nämlich die obigen 8, die Bedingung der Aufgabe zutrifft, ist die gesuchte Anzahl exakt 5000 (wieder 0000 eingeschlossen).
04.01.2022, 11:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gleiche Fragestellung für maximal $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -stellige Zahlen (d.h. $\begin{eqnarray} 1\leq n < 10^k \end{eqnarray}$ ) ergibt übrigens Anzahl $\begin{eqnarray} f_{k+2}\cdot 5^k-1 \end{eqnarray}$ , wobei mit $\begin{eqnarray} (f_k)_{k=0,1,2,\ldots} = (0,1,1,2,3,5,8,\ldots) \end{eqnarray}$ die Fibonacci-Folge gemeint ist.
04.01.2022, 19:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine hübsche Erweiterung. Wir betrachten also $\begin{align} k \end{align}$ -stellige Zahlen in Dezimalschreibweise. Für diese sei $\begin{align} a_k \end{align}$ die Anzahl der g-u-Muster, bei denen keine zwei ungeraden Zahlen aufeinander folgen. I. Unter diesen gibt es welche, die mit g enden. Davor steht ein g-u-Muster einer $\begin{align} (k-1) \end{align}$ -stelligen Zahl, so daß keine zwei ungeraden Ziffern aufeinander folgen; und das sind gerade $\begin{align} a_{k-1} \end{align}$ an der Zahl. II. Und es gibt welche, die mit u enden. Bei diesen muß die vorletzte Stelle folglich g sein, sie enden also auf gu. Und davor steht ein g-u-Muster einer $\begin{align} (k-2) \end{align}$ -stelligen Zahl, so daß keine zwei ungeraden Ziffern aufeinander folgen. Davon gibt es aber $\begin{align} a_{k-2} \end{align}$ Stück. Es folgt die Fibonacci-Rekursion $\begin{align} a_k = a_{k-1} + a_{k-2} \end{align}$ Und wie geht das Ganze los? $\begin{align} k=1 \end{align}$ : Es gibt die Muster g, u, also ist $\begin{align} \color{blue} a_1 = 2 \end{align}$ $\begin{align} k=2 \end{align}$ : Es gibt die Muster gg, ug, gu, also ist $\begin{align} \color{red} a_2 = 3 \end{align}$ Bei $\begin{align} k=3 \end{align}$ zieht zum ersten Mal die Rekursion: Typ I (endet auf g) ggg, ugg, gug, Anzahl: $\begin{align} \color{red} a_2=3 \end{align}$ Typ II (endet auf u) ggu, ugu, Anzahl: $\begin{align} \color{blue} a_1 = 2 \end{align}$ $\begin{align} a_3 = \color{red} a_2 \color{black} + \color{blue} a_1 \color{black} = \color{red} 3 \color{black} + \color{blue} 2 \color{black} = 5 \end{align}$ Wenn man nun beachtet, daß jedes Muster $\begin{align} 5^k \end{align}$ Realisierungen besitzt und wenn man auch noch die Dezimalzahl aus lauter Nullen wegläßt, ergibt sich HALs Formel.

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