Trigonometrische Funktion

04.01.2022, 11:34

hansG

Trigonometrische Funktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe eine kleine mathematische Problemstellung und tue mich gerade ein bisschen schwer diese zu Lösen. Meine (Hoch-)Schul-Mathematik ist auch schon ein paar Jahre her Augenzwinkern

Ich freue mich auf Ideen.

Vielen Dank.

Ich habe zwei trigonometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten.
(1) a = cos(alpha) * b + cos(beta)*c
(2) d = sin(beta) * c - sin(alpha) * b

a,b,c,d sind dabei Konstanten. Ich denke das Gleichungssystem müsste lösbar sein, da es zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (alpha und beta) hat, richtig?
Ich habe meinen Rechenweg angefügt, bin mir aber gar nicht mehr sicher ob ich noch richtig bin oder ob ich mich im Kreis drehe. Es müsste (in der letzten Gleichung) ja auch cos^2(beta) + sin^2(beta) = 1 gelten, richtig? Dann wäre die Gleichung eigentlich gelöst. Ich bin mir leider gar nicht sicher, es wäre wichtig, dass das Ergebnis stimmt deswegen würde ich mich über Ideen darüber freuen.

Meine Ideen:
Ich habe versucht die Lösungen zu vereinfachen bzw. zusammenzufassen:

(1) a = cos(alpha) * b + cos(beta) * c
(2) d = sin(beta) * c - sin(alpha) * b
Quadrieren und vereinfachen (a^2=A, b^2=B,....):
(1) A = cos^2(alpha) * B + cos^2(beta) * C
(2) D = sin^2(beta) * C - sin^2(alpha) * B
Addieren der beiden Terme:
A + D = cos^2(alpha) * B + cos^2(beta) * C + sin^2(beta) * C - sin^2(alpha) * B
Zusammenfassen:
A + D = B * (cos^2(alpha) - sin^2(alpha)) + C * (cos^2(beta) + sin^2(beta))
Anwenden des Additionstheorems cos^2(x)-sin^2(x)= cos(2x)
A + D = B * (cos(2*alpha)) + C * (cos^2(beta) + sin^2(beta))

04.01.2022, 11:50

Leopold

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Schwerer Algebra-Fehler!
Das Quadrieren einer Summe erfolgt nach der binomischen Formel:

$\begin{align*} (P+Q)^2 = P^2 + 2PQ + Q^2 \end{align*}$

04.01.2022, 12:25

hansG

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Hallo Leopold,

ganz richtig, ich hatte es vermutet, war aber nicht mehr ganz sicher Gott

Leider macht das meine Gleichung nicht einfacher geschockt

Ich steige an der Stelle nochmal ein:

(1) a = cos(alpha) * b + cos(beta) * c
(2) d = sin(beta) * c - sin(alpha) * b
Quadrieren und vereinfachen (a^2=A, b^2=B,....):
(1) A = cos^2(alpha) * B + 2 * cos(alpha) * b * cos(beta) * c + cos^2(beta) * C
(2) D = sin^2(beta) * C - 2 *sin(beta) * c * sin(alpha) * b + sin^2(alpha) * B
Addieren und Zusammenfassen der beiden Terme:
A + D = 2 * b * c * ((cos(alpha) * cos(beta)) - (sin(beta) * sin(alpha))) + cos^2(alpha) * B + sin^2(alpha) * B + cos^2(beta) * C sin^2(beta) * C
Vereinfachung erster Teil mit Additionstheorem cos(x)*cos(y)=... bzw. sin(x)*sin(y) :
2 * b * c * ((cos(alpha) * cos(beta)) - (sin(alpha) * sin(beta))) = 2 * b * c * (0.5*(cos(alpha - beta)+cos(alpha + beta)) - 0.5*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)))
-> 2*b*c * cos(alpha + beta)
Zusammen mit den Rest der Gleichung:
A + D = 2*b*c *cos(alpha + beta) + cos^2(alpha) * B + sin^2(alpha) * B + cos^2(beta) * C sin^2(beta) * C

04.01.2022, 13:23

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Ich hab mir den Rest jetzt nicht angeschaut (ist auch schlecht zu lesen, probier mal unseren Formeleditor aus), aber $\begin{eqnarray*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{eqnarray*}$ ist bekannt, oder?

Viele Grüße
Steffen

04.01.2022, 23:19

Leopold

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Mit komplexer Darstellung gelingt es, das Gleichungssystem zu lösen. Ich setze also

$\begin{align*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} \, , \ \ w = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \beta} \end{align*}$

Dann schreibt sich das Gleichungssystem so:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \frac{1}{2} b \left( z + \frac{1}{z} \right) + \frac{1}{2} c \left( w + \frac{1}{w} \right) = a \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \operatorname{i} \cdot \frac{1}{2} b \left( z - \frac{1}{z} \right) - \operatorname{i} \cdot \frac{1}{2} c \left( w - \frac{1}{w} \right) = d \end{align*}$

Man kann eine der beiden Variablen eliminieren und erhält dann eine quadratische Gleichung. Nimmt man die Parameter $\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ als reell an und setzt man

$\begin{align*} r = \sqrt{a^2 + d^2} \, , \ \ s = \sqrt{(r+b+c)(-r+b+c)(r-b+c)(r+b-c)} \end{align*}$

wobei der Radikand bei $\begin{align*} s \end{align*}$ als positiv angenommen werde (was der Fall ist, wenn für $\begin{align*} r,b,c \end{align*}$ die Dreiecksungleichungen gelten), dann bekommt man die folgenden Lösungen:

$\begin{align*} z = \frac{1}{2br^2} \left( a \left( r^2 + b^2 - c^2 \right) \pm ds + \operatorname{i} \left( -d \left( r^2 + b^2 - c^2 \right) \pm as \right) \right) \end{align*}$

$\begin{align*} w = \frac{1}{2cr^2} \left( a \left( r^2 - b^2 + c^2 \right) \mp ds + \operatorname{i} \left( d \left( r^2 - b^2 + c^2 \right) \pm as \right) \right) \end{align*}$

Nur die obere und die untere Vorzeichenkombination ist jeweils zulässig.

Hier ein Beispiel:

$\begin{align*} a=-3, \ b=2, \ c=5, \ d=4; \ \ \text{es folgt:} \ r = 5 \end{align*}$

Eines der Lösungspaare ist

$\begin{align*} z = \frac{1}{100} \left( 32 \sqrt{6} - 12 - \operatorname{i} \left( 24 \sqrt{6} + 16 \right) \right) \, , \ \ w = \frac{1}{125} \left( -16 \sqrt{6} - 69 + \operatorname{i} \left( -12 \sqrt{6} + 92 \right) \right) \end{align*}$

Man stellt fest: $\begin{align*} |z| = |w| = 1 \end{align*}$

Aus $\begin{align*} z \end{align*}$ erhält man durch Übergang zum Realteil

$\begin{align*} \cos(\alpha) = \frac{1}{25} \left( 8 \sqrt{6} - 3 \right) \end{align*}$

Da $\begin{align*} z \end{align*}$ im IV. Quadranten liegt, folgt modulo $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ :

$\begin{align*} \alpha = - \arccos \left( \frac{1}{25} \left( 8 \sqrt{6} - 3 \right) \right) \end{align*}$

Aus $\begin{align*} w \end{align*}$ erhält man durch Übergang zum Realteil

$\begin{align*} \cos(\beta) = - \frac{1}{125} \left( 16 \sqrt{6} + 69 \right) \end{align*}$

Da $\begin{align*} w \end{align*}$ im II. Quadranten liegt, folgt modulo $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ :

$\begin{align*} \beta = \arccos \left( - \frac{1}{125} \left( 16 \sqrt{6} + 69 \right) \right) \end{align*}$

EDIT
Vorzeichenschreibfehler korrigiert

05.01.2022, 11:45

hansG

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Wow, vielen Dank.

Ich hab versucht das Ganze mit Sinus und Kosinus weiter durchzurechnen aber das wird irgendwann echt unübersichtlich. Ich hab da irgendwie den Überblick verloren. Viellicht ist die komplexe Schreibweise wirklich besser geeignet.

@Leopold: Könntest du mir nochmal kurz aufzeigen wie du die beiden Gleichungen (1) und (2) kommst? Ab dann kann ich es nach vollziehen. Von welchen Gleichungen bei mir gehst du aus? Von den beiden ersten? Oder schon von umgewandelten Varianten?

Vielen Dank und Grüße

05.01.2022, 12:12

Leopold

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Zitat:

Original von hansG
@Leopold: Könntest du mir nochmal kurz aufzeigen wie du die beiden Gleichungen (1) und (2) kommst?

Das sind genau deine Gleichungen (1) und (2). Zum Beispiel

$\begin{align*} \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \alpha} \right) = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right) \ \ \text{mit} \ \ z = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} \end{align*}$

EDIT
Leider sind mir bei den Vorzeichen der Gleichungen (1) und (2) Schreibfehler unterlaufen. Ich habe das inzwischen korrigiert.

06.01.2022, 12:33

hansG

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Klasse, vielen Dank.

Kann es sein, dass die zweite Formel so heißen müsste? Oder wie kommt das i in den Zähler?
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{2i}\cdot \left(w-\frac{1}{w} \right) - \frac{b}{2i}\cdot \left(z-\frac{1}{z} \right)= d \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{2}\cdot \left(z-\frac{1}{z} \right)-\frac{c}{2}\cdot \left(w-\frac{1}{w} \right) = di \end{eqnarray*}$

06.01.2022, 16:55

IfindU

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Für $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} i^2= -1 \end{eqnarray*}$ und einmal durch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ dividiert liefert die hilfreiche Identität $\begin{eqnarray*} i = \frac {-1} {i} \end{eqnarray*}$ . D.h. man kann $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ vom Nenner in den Zähler holen und muss nur das Vorzeichen einmal drehen.

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