Stetigkeit der Umkehrfunktion

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HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Umkehrfunktion
Hallo Wink ,
Wir haben eine streng monotone (nicht unbedingt stetige Funktion)
Wir wissen: Die Umkehrfunkton (auf dem Bild) existiert und ist streng monoton.
Zu zeigen: Mit delta-epsilon Kriterium: ist stetig.
: verwirrt Wie kann man das zeigen?
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der Umkehrfunktion
Echt? keiner eine Idee?
Ich leider auch nicht...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der Umkehrfunktion
Ich bin sicher man bekommt es eleganter hin. Ich wüsste keinen Hinweis, den ich geben könnte, so dass man selbst darauf kommt. Daher verzeihe man mit die Komplettlösung. Ausstehend wäre immerhin noch es in Epsilon-Delta umzuschreiben Augenzwinkern

Wir zeigen ist stetig in . Da man statt auch betrachten kann, dürfen wir annehmen, dass (und somit ) streng monoton wachsen.

Sei hierzu eine Folge mit . Wir müssen zeigen, dass . Die Folge hat unendlich viele Glieder und unendlich viele Glieder erfüllen somit oder . Aus technischen Gründen nehmen wir erst eine beliebige Teilfolge von , und dann eine Teilfolge, welche eine der Ungleichungen erfüllt. OBdA für alle . Ebenso können wir eine Teilfolge auswählen, welche monoton ist. Da (Monotonie von ) und dürfen wir also annehmen, dass monoton wachsend

Da monoton wachsend ist und durch beschränkt ist exisitiert nach monotoner Konvergenz der Grenzwert mit . Wenn sind wir fertig. Ansonsten:

Falls , dann ist auch und damit Widerspruch zu . Analog der andere Fall.

Da eine Folge genau dann, wenn jede beliebige Teilfolge von eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert besitzt, ist es gezeigt.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der Umkehrfunktion
Uff...Also das letzte Mal Folgen hatten wir im Gymnasium... Ich glaube du verwendest da dieses Folgenkriterium, oder?
Monotone Konvergenz... Hatten wir glaube ich auch noch nicht...
Ich wühl nochmal im Skript...
geht das ganze auch ohne Folgen? Wir sollen nur über die Eigenschaften, des Intervalls argumentieren...dass x in einem Intervall entweder ein Randpunkt oder ein Innerer Punkt ist... Erstaunt2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion , welche den Voraussetzungen dieses Threads genügt, kann übrigens ziemlich übel aussehen:

Nehmen wir als Basis die Cantorfunktion und definieren mit der



dann ist dieses tatsächlich streng monoton, an allen Stellen allerdings unstetig. Da sie offenkundig nicht surjektiv ist, kann man allenfalls von einer Umkehrfunktion mit sprechen. Dieses ist als Teilmenge der Cantor-Menge ein ziemlich löchriges Gebilde, da es beispielsweise kein Intervall positiver Länge enthält. Dennoch kann man natürlich auch auf diesem versehen mit der normalen Metrik sowas wie Stetigkeit betrachten. Augenzwinkern
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Cantorfunktionen? Teufelstreppe? Teufel Ihr macht mich alle! Big Laugh
Aber sehr interessanter Kommentar. Danke dafür!
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Da es so fürchterliche Beispiele wie die von HAL gibt, seh ich gerade nichts eleganteres.

Wenn man davon ausgeht, dass aus Intervallen mit nicht-leerem Inneren besteht, könnte man versuchen zu argumentieren:
Ist im Innern dieser Intervalle, ist das Bild zusammenhängend und (ich vermute) in stetig. Damit ist die Umkehrfunktion automatisch stetig. Ist am Rand des Intervalls, so gibt es einen positiven Abstand zu Punkten außerhalb des Intervalls. Da für die Stetigkeit der Umkehrfunktion nur eine kleine Umgebung interessant ist, können wir davon ausgehen, dass es das einzige Intervall ist. Und damit ist Stetigkeit trivial.

Bisschen hand-waving, aber es erfordert eben mehr Regularität als wir haben. Wenigstens nach meinem Verständnis.
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