Ableitung einer Matrix nach einem Vektor und Matrixexponential

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hans6432 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Matrix nach einem Vektor und Matrixexponential
Hallo zusammen,

ich suche die Jakobimatrix der folgenden vektorwertigen Funktion:



mit



Die Matrix ist über das Matrixexponential


gegeben, wobei die Matrix ebenfalls vom Vektor abhängt. Gesucht ist letztlich die Jakobimatrix "nach" , also . Die erste Idee die ich hatte war die Anwendung der Produktregel:

Falls dies überhaupt zulässig ist, habe ich hier das Problem, dass ich nicht weiß, was die Ableitung von A nach einem Vektor sein soll. Das müsste ja ein dreidimensionales Gebilde sein, da man jedes Element der Matrix partiell nach den Einträgen des Vektors ableiten müsste. Also wären es quasi Matrizen hintereinander und es ergäbe sich die Dimension . Ich vermute, dass man sowas als Tensor dritter Stufe darstellen könnte, doch habe ich leider gar keine Erfahrung mit Tensoren. Auch frage ich mich, wie in obiger Formel dieser Tensor mit zu multiplizieren wäre. Ich denke das würde von den Dimensionen her schon gar nicht funktionieren. Als Ergebnis bräuchte man jedenfalls die Dimension , da ja die Jakobimatrix raus kommen soll.

Um mich nicht mit Tensoren herumzuschlagen, habe ich die Ausgangsgleichung zeilenweise betrachtet, dann bekomme ich für jede Zeile :

Dann hat man nur noch Ableitungen von Vektoren nach einem Vektor, was stets der Jakobimatrix entspricht und es passt auch von den Dimensionen her zusammen. Soweit so gut, aber mit dieser zeilenweisen Darstellung habe ich Probleme, wenn ich zum Matrixexponential komme. Dieses kann ich nämlich nicht zeilenweise berechnen, da es eben nur für quadratische Matrizen definiert ist. D.h. ich komme wohl um die Tensorendarstellung nicht herum. Ich hätte mir dann die Anwendung der Kettenregel vorgestellt, in etwa so:


Es ergeben sich für mich folgende Fragen:
  • Was ist die Ableitung einer Matrix nach einem Vektor und wie kann ich dieses 3-dimensionale Konstrukt darstellen?
  • Wie würde sich dieses 3-dimensionale Konstrukt in obige Gleichung einbetten, sodass es gemäß Produktregel mit dem ursprünglichen Vektor multipliziert werden kann?
  • Darf ich das Matrixexponential mit der Kettenregel wie oben gezeigt ableiten?


Sorry für den langen Text, ich hoffe es ist einigermaßen klar geworden, wonach ich suche und schon mal vielen Dank im Voraus. Vielleicht kann mir jemand von euch auf einen grünen Zweig helfen, das würde mich sehr freuen!
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