Beweis (Widerspruch) zur endlichen Anzahl Primzahlen

06.01.2022, 16:01	osion	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis (Widerspruch) zur endlichen Anzahl Primzahlen Meine Frage: Ich habe mir den Stream über den Wiederspruchbeweis (Es gibt endlich viele Primzahlen) mehrmals angeschaut, aber nicht verstanden wie der Dozent den rot Markierten Bereich zusammenfassen konnte. (s. Bild) Meine Ideen: Ich verstehe die Bewegründe und warum er so zusammenfasst, aber nicht warum das mathematisch stimmt.
06.01.2022, 16:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wurde einfach der Faktor $\begin{eqnarray} p_j \end{eqnarray}$ in der Faktorenreihenfolge vorgezogen. Für das Produkt aller Primzahlen der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{P} \end{eqnarray}$ bedeutet diese Abspaltung $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n p_i = p_j\cdot \left( \prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^n p_i\right) \end{eqnarray}$ . Wenn beispielsweise $\begin{eqnarray} n=5 \end{eqnarray}$ wäre und $\begin{eqnarray} j=4 \end{eqnarray}$ , so heißt dies einfach $\begin{eqnarray} p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5 = p_4\cdot \left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_5\right) \end{eqnarray}$ . Der Rest ist dann Distributivgesetz, d.h. ausklammern $\begin{eqnarray} k\cdot p_j - p_j\cdot \left( \prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^n p_i\right) = p_j\cdot \left[ k - \left( \prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^n p_i\right) \right] \end{eqnarray}$ .
06.01.2022, 22:19	osion	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich das richtig: Beim endlichen Produkt wird $\begin{eqnarray} p_j \end{eqnarray}$ ausgeklammert, d. h. es wird nicht mehr gezählt. Soweit richtig? Eigentlich logisch, dass es so geht.
06.01.2022, 22:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, abgesehen von Assoziativität+Kommutativität der Multiplikation (d.h. beliebiges Umsortieren der Faktoren im Produkt ist erlaubt) passiert bei diesem Umformungsschritt inhaltlich nichts spannendes. Vielleicht ist eine Symbolik wie $\begin{eqnarray} \prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^n \end{eqnarray}$ beim ersten Anblick eben noch etwas gewöhnungsbedürftig.
06.01.2022, 22:35	osion	Auf diesen Beitrag antworten »
In paar Tagen werde ich es wissen bei der Diskrete Mathematik Semesterprüfung. Danke
06.01.2022, 23:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß zwar nicht, was erst dann in Erfahrung zu bringen sein wird zu diesem Beweis was nicht jetzt schon klar sein sollte - aber wie du meinst...
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