Abb{A,[0,1]} Abzählbarkeit, endlich

06.01.2022, 17:48	Max12345456456	Auf diesen Beitrag antworten »
Abb{A,[0,1]} Abzählbarkeit, endlich Meine Frage: Hallo, ist mein Ansatz bei folgender Aufgabe richtig? Ich bin mir da ziemlich unsicher, weil alle Lösungen die ich gefunden habe anders vorgehen. Viele Grüße Für eine Menge A seien Abb(A, {0, 1}) die Menge aller Abbildungen von A in die Menge {0, 1}. Zeigen Sie: Abb(A, {0, 1}) ist genau dann abzählbar, wenn A endlich ist. Meine Ideen: Zu zeigen: Abb(A,[0,1]) ist abzählbar <=> A ist endlich 1. A ist endlich => Abb(A,[0,1]) ist abzählbar Wenn A endlich ist, kann A in endlich viele disjunkte 1-elemntige TM von A $\begin{eqnarray} A_{1},A_{n} \end{eqnarray}$ aufgeteilt werden. Die Menge Abb(A,[0,1]) kann dann ebenso in n disjunkte TM aufgeteilt werden: $\begin{eqnarray} Abb_{1}(A_{1},[0,1]),Abb_{2}(A_{2},[0,1]),...,Abb_{n}(A_{n},[0,1])\subseteq Abb(A,[0,1]),n=\|A\| \end{eqnarray}$ Da die TM von A alle genau ein Element haben gilt: $\begin{eqnarray} \|Abb_{n}(A_{n},[0,1])\|= 2 = \|(1,2)\|,n\leq \|A\| \end{eqnarray}$ Demnach sind die TM von Abb alle endliche Mengen und damit auch abzählbar. Da Abb(A,[0,1]) die abzählbare Vereinigung der abzählbaren TM von Abb(A,[0,1]) ist, ist Abb(A,[0,1]) auch abzählbar. 2. Abb(A,[0,1]) ist abzählbar => A ist endlich ...
06.01.2022, 20:12	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1. Besser allgemein zeigen, dass für endliche $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ ebenso $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(X,Y) \end{eqnarray}$ endlich sein muss. Eine direkte Argumentation zu Abb kommt mir kognitiv anstrengend vor. Ich würde $\begin{eqnarray} f\in\operatorname{Abb}(X,Y) \implies f\subseteq X\times Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\subseteq X\times Y\iff f\in \mathcal P(X\times Y) \end{eqnarray}$ nutzen. Ergo ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(X,Y)\subseteq\mathcal P(X\times Y) \end{eqnarray}$ gemäß Definition der Relation $\begin{eqnarray} \subseteq. \end{eqnarray}$ Es verbleibt lediglich zu zeigen, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge ebenso eine endliche Menge ist. Zu 2. Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(M,\{0,1\}) \end{eqnarray}$ gleichmächtig zur Potenzmenge $\begin{eqnarray} \mathcal P(M) \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine beliebige Menge sein darf. Nämlich ist $\begin{eqnarray} \varphi\colon\mathcal P(M)\to \operatorname{Abb}(M,\{0,1\}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(A):=1_A \end{eqnarray}$ eine Bijektion (müsstest du noch zeigen), wobei mit $\begin{eqnarray} 1_A \end{eqnarray}$ die Indikatorfunktion gemeint ist. Nun die Kontraposition betrachten: Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ unendlich ist, dann ist $\begin{eqnarray} \mathcal P(A) \end{eqnarray}$ überabzählbar. Diese Aussage ist offenkundig eine direkte Folgerung des Satzes von Cantor.

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