Bedingte Wahrscheinlichkeit fehlende Variable

06.01.2022, 21:50

vanillevanessa

Bedingte Wahrscheinlichkeit fehlende Variable

Meine Frage:
Hallo. Als Datei reiche ich hier die Aufgabe mit ein, die ich mit aller Kraft nicht schaffe.Ab der a3) komme ich einfach nicht weiter, weil es sich anfühlt, als würden mir Daten fehlen, aber das sind alle und das bisher eingetragene stimmt auch.

Vielen vielen Dank, falls mir jemand helfen kann :-)

Meine Ideen:
Ich habe es über diese Vierfeldtafel versucht, aber das geht ja nicht auf, weil ich G, D und S habe. Das funktioniert ja nur, wenn ich 2 davon hätte, dementsprechend hat mir ein Baum auch nicht geholfen unglücklich

[attach]54289[/attach]

Bild anstelle ZIP-Link eingefügt.
klauss

06.01.2022, 22:15

HAL 9000

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Ok, gegeben sind

(1) $\begin{eqnarray*} G,D,S \end{eqnarray*}$ bilden eine disjunkte Zerlegung des W-Raumes, d.h., es ist insbesondere $\begin{eqnarray*} P(G)+P(D)+P(S)=1 \end{eqnarray*}$ .
(2) $\begin{eqnarray*} P(G)=0.5 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} P(R\mid G) = 1 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} P(R\mid D) = 0.9 \end{eqnarray*}$
(5) $\begin{eqnarray*} P(R\mid S) = 0 \end{eqnarray*}$
(6) $\begin{eqnarray*} P(R) = 0.8 \end{eqnarray*}$

a3) Sei $\begin{eqnarray*} d=P(D) \end{eqnarray*}$ , gemäß (1) und (2) gilt dann $\begin{eqnarray*} P(S)=1-P(G)-P(D) = 0.5-d \end{eqnarray*}$ . Gemäß Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ist nun

$\begin{eqnarray*} P(R) = P(G)\cdot P(R\mid G) + P(D)\cdot P(R\mid D) + P(S)\cdot P(R\mid S) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.8 = 0.5\cdot 1 + d\cdot 0.9 + (0.5-d)\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Aufgelöst ergibt sich $\begin{eqnarray*} P(D)=d=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} P(S)=0.5-d = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

06.01.2022, 22:34

vanillevanessa

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Ohhh, dass ich in (4) und (5) die Werte "umdrehen" darf, wusste ich nicht. Ich dachte das geht nur, wenn es P(R|D) und P(Nicht R| Nicht D) ist. Damit öffnet sich dann natürlich sehr viel über die Formel. Ich danke Ihnen vielmals!! smile

07.01.2022, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von vanillevanessa
Ohhh, dass ich in (4) und (5) die Werte "umdrehen" darf, wusste ich nicht.

Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses verhält es sich genauso wie bei "normalen" Wahrscheinlichkeiten: D.h., es gilt ebenso $\begin{eqnarray*} P\left(A^c\right) = 1-P\left(A\right) \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} P\left(A^c\mid B \right) = 1-P\left(A\mid B\right) \end{eqnarray*}$ .

Aber Obacht: Manch leichtsinniger Zeitgenosse folgert dann auch forsch $\begin{eqnarray*} P\left(A\mid B^c \right) \stackrel{???}{=} 1-P\left(A\mid B\right) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} P\left(A^c\mid B^c \right) \stackrel{???}{=} 1-P\left(A\mid B\right) \end{eqnarray*}$ . Das kann man nur als Unsinn bezeichnen.

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