Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren |
| 07.01.2022, 09:47 | Lisa 2005 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren Ausgehend von einem (kontruierbaren) Fünfeck, habe ich den Winkel 108°. Durch Halbierung erhalte ih 27° und zusammen mit dem Winkel 30° kann ich den Winkel 3° konstruieren. Und damit auch allle Vielfache davon, also z.B. den Winkel 21°. Den Winkel 20° kann man nicht konstruieren. Ich habe die Vermutung, dass alle ganzzahligen konsrtruierbaren Winkel Vielfache von 3 sind. Ist das richtig ? Gibt es denn irgend eine Formel, mit der man feststellen kann, ob ein gegebener Winkel konstruierbar ist oder nicht ? |
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| 07.01.2022, 10:46 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren Ja. Wiki weiß mehr. Viele Grüße Steffen |
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| 07.01.2022, 11:52 | Lisa 2005 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren danke für den Link auf Wiki. Den hab ich durchgelesen aber da geht es ja eher um die (unmögliche) Dreiteilung eines Winkels (im allgemeinen Fall) ... und meine Frage wird da nicht unbedingt direkt beantwortet. Jedenfalls habe ich das nicht gefunden. Sind alle ganzzahligen konstruierbaren Winkel ein Vielfaches von 3? Ich hab mir folgenden Beweis ausgedacht. ich weiß: der Winkel 3° ist konstruierbar, der Winkel 20° ist nicht konstruierbar. Angenommen es gäbe einen ganzzahligen, konstruierbaren Winkel alpha, der nicht durch drei teilbar ist, dann wäre auch der Winkel (3 - alpha) mod 3 konstruierbar ... also entweder wäre der Winkel 1° oder 2° konstruierbar und damit auch der Winkel 20°. Das ist ein Widerspruch. Voila, und schon ist die Behauptung bewiesen. Ich hoffe, ich habe nicht zu viel Blödsinn erzählt. |
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| 07.01.2022, 12:26 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren Zu Deinem Beweis kann ich nichts sagen, aber es geht Dir ja bei Deinen "ganzzahligen" Winkeln anscheinend um ganzzahlige Vielfache von 1°. Das kam nicht so ganz rüber, die 360°-Einteilung ist ja eher willkürlich. Der Wiki-Artikel sagt ja, dass ein n-Eck konstruiert werden kann, wenn n das Produkt von zwei verschiedenen Fermatschen Primzahlen (bis jetzt kennt man 3, 5, 17, 257 und 65537) sowie einer Zweierpotenz ist. Auf Deine Fragestellung übertragen heißt das: wann ist 360 geteilt durch ebendieses n eine ganze Zahl? Nun ergibt die Faktorisierung 360=2*2*2*3*3*5. Um ganzzahlig zu bleiben, darf man also nur durch diese Primfaktoren und deren Produkte dividieren. Damit der Winkel konstruierbar ist, müssen wir somit auf jeden Fall schon mal durch 3 und durch 5 dividieren. Danach nur noch durch eine Zweierpotenz. Somit bleibt eine 3 aus der Faktorisierung übrig, und Deine Behauptung ist bewiesen. |
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