Beweise, dass Zahl keine Primzahl ist

08.01.2022, 20:04

osion

Beweise, dass Zahl keine Primzahl ist

Meine Frage:
Die Aufgabe (s. Bild) ist zu beweisen, dass es keine Primzahl ist.
Mein Problem ist, dass ich die Lösung nicht verstehe.

Warum hat 2^k modulo 3 eine Kongruenz und was hat es mit Teilefremd 2 und 3 auf sich?

Meine Ideen:
Ich würde gerne selber auf die Lösung kommen, aber bin froh für jeden hilfreichen Tip.

08.01.2022, 20:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von osion
Warum hat 2^k modulo 3 eine Kongruenz

Diese sinnlose Frageformulierung deutet darauf hin, dass du den Begriff der Kongruenz überhaupt nicht kennst. Wie willst du ohne diese Grundlagenkenntnisse derartige Beweise verstehen? unglücklich

Formulieren wir es mal "kongruenzfrei": Man kann einfach nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n+1 \end{eqnarray*}$ für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer durch 3 teilbar ist - womit sich das im Fall ungerader $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ mit der Primzahleigenschaft erledigt hat.

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(b) ist weit interessanter: Dort hilft z.B.

$\begin{eqnarray*} 3^{6k+1}+4 = 3\cdot \left(3^6\right)^k + 4 = 3\cdot 729^k +4 \equiv 3\cdot 1^k + 4 = 7\equiv 0\bmod 7 \end{eqnarray*}$

das gilt mit $\begin{eqnarray*} 71071 = 6\cdot 11845+1 \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} k=11845 \end{eqnarray*}$ .

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