Wie viele Quadratzahlen dieser Form gibt es?

08.01.2022, 21:57	Renzo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele Quadratzahlen dieser Form gibt es? Meine Frage: Gesucht sind Quadratzahlen, deren Quersumme 451332 beträgt und deren letzte Ziffer ungleich 0 ist. Meine Ideen: Die Zahl $\begin{eqnarray} (10^{50148}-1)^{2} \end{eqnarray}$ erfüllt die Anforderungen, jedoch kann ich nicht sagen, ob es noch mehr solcher Zahlen gibt...
08.01.2022, 22:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir für $\begin{eqnarray} a>2b>0 \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} \left(10^a + 10^b - 2\right)^2 = 10^{2a} + \left(2\cdot 10^b - 4\right)\cdot 10^a +\left(10^b - 4\right)\cdot 10^b + 4\qquad () \end{eqnarray}$ . Das ist eine Zahl mit $\begin{eqnarray} 2a+1 \end{eqnarray}$ Dezimalstellen, die von links nach rechts folgendermaßen aufgebaut ist: a) Eine Eins b) $\begin{eqnarray} a-b-1 \end{eqnarray}$ Nullen c) Eine Eins d) $\begin{eqnarray} b-1 \end{eqnarray}$ Neunen e) Eine Sechs f) $\begin{eqnarray} a-2b \end{eqnarray}$ Nullen g) $\begin{eqnarray} b-1 \end{eqnarray}$ Neunen h) Eine Sechs i) $\begin{eqnarray} b-1 \end{eqnarray}$ Nullen j) Eine Vier Die Quersumme dieser Zahl ist $\begin{eqnarray} 18b \end{eqnarray}$ . Wählen wir nun $\begin{eqnarray} b=\frac{451332}{18} = 25074 \end{eqnarray}$ , dann hat für jedes (!)* $\begin{eqnarray} a > 2b = 50148 \end{eqnarray}$ diese Zahl (*) Quersumme 451332. Damit gibt es unendlich viele solche Zahlen.
09.01.2022, 11:37	Renzo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Schöne Lösung... aber kann man sich diesen Ansatz auch irgendwie herleiten? Für mich sieht das ziemlich willkürlich gewählt aus
09.01.2022, 11:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenfrage: Wie hast du dir denn dein $\begin{eqnarray} \left(10^{50148}-1\right)^2 \end{eqnarray}$ hergeleitet? Ich hab ja wenigstens noch mit zunächst offenen Parametern $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ agiert, die ich dann den Erfordernissen der Quersumme angepasst habe, während deine Lösung komplett vom Himmel gefallen ist...
09.01.2022, 11:57	Frenzo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom multiplizieren großer Zahlen in der Grundschule ist hängengeblieben, dass beim Quadrieren von Zahlen, die nur aus Neunen bestehen, die Quersumme der Zahl erhalten bleibt. Jetzt hab ich meine Karten offen gelegt. Nun darf ich sicher auch einmal in deine Hand lunsen.
09.01.2022, 12:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine einzigen Vorüberlegungen waren, dass die Vorgabe-Quersumme durch 9 teilbar ist und daher die zu quadrierende Zahl wenigstens durch 3 teilbar sein muss. Außerdem sollte sie - ähnlich wie bei deiner Idee $\begin{eqnarray} \left(10^{50148}-1\right)^2 \end{eqnarray}$ - möglichst viele Neunen enthalten. Da ist dann $\begin{eqnarray} 10^a + 10^b - 2 \end{eqnarray}$ eine naheliegende Idee, und zwar mit zwei Parametern, weil einer für die Erfüllung der Quersumme gedacht war, und der andere für das Ziel "unendlich viele Lösungen". Und da $\begin{eqnarray} 10^a + 10^b - 1 \end{eqnarray}$ nicht durch 3 teilbar ist, dann eben der nächste Schritt.
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