Abbildung im Vektorraum

09.01.2022, 18:36	tali1509	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung im Vektorraum Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Betrachten Sie den Vektorraum über R: $\begin{eqnarray} V = \left\{ x\in \mathbb R^{\mathbb N }: x_{i}= a+(i-1)\cdot b , a,b\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ und die Abbildung: $\begin{eqnarray} f: V-> \mathbb R^{2} mit f(x)=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: f ist ein Isomorphismus. Meine Ideen: Es geht mir gar nicht um den Isomorphismus, sondern darum, dass ich die Abbildung einfach nicht verstehe. Also x1=a und x2=a+b, aber ich verstehe es nicht, wie aus x (a,b) werden soll. EDIT(Helferlein):Latexklammern gesetzt.
09.01.2022, 18:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente von V sind Folgen, die sich in der angegebenen Form darstellen lassen. Zu jeder Folge gibt es eindeutig bestimmte a,b. Das ist das Bild dieser Folge.
09.01.2022, 19:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente von $\begin{align} V \end{align}$ kann man als reelle Zahlenfolgen gewisser Bauart auffassen (arithmetische Zahlenfolgen): $\begin{align} x = \left( a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots \right) \end{align}$ Man sollte sich zunächst überlegen, daß $\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} b \end{align}$ die Elemente von $\begin{align} V \end{align}$ umkehrbar eindeutig bestimmen. Gilt nämlich $\begin{align} \left( a, \, a+b, \, a+2b, \, \ldots \right) = \left( a', \, a'+b', \, a'+2b', \, \ldots \right) \end{align}$ so folgt durch Vergleich der ersten beiden Koordinaten $\begin{align} a=a', b=b' \end{align}$ . Es bestimmen daher nicht nur $\begin{align} a,b \end{align}$ das Element $\begin{align} x \in V \end{align}$ eindeutig, sondern durch $\begin{align} x \in V \end{align}$ sind auch $\begin{align} a,b \end{align}$ eindeutig festgelegt. Daher ist die Abbildung $\begin{align} f \end{align}$ wohldefiniert. Beispiel: $\begin{align} x = (3,1,-1,-3,-5,\ldots) \mapsto \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align}$

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