Kreisbogen durch einen Polygonzug annähern

10.01.2022, 11:41

Xh_12

Kreisbogen durch einen Polygonzug annähern

Meine Frage:

Sei phi \in [0,2pi]
Die Länge des Einheitskreisbogens von 1 bis e^{iphi} ist bekanntermaßen gleich phi.
Dies kann man begründen indem man den Kreisbogen durch ein Polygonzug annähert.
ZZ:

\lim_{N\to\infty } \sum\limits_{n=1}^{N} |e^{in(phi/N)} - e^{i(n-1)phi/N} |

Meine Ideen:
Ich habe es als erstes mit dem ausklammern versucht und kam auf

|e^{iphi/N} -1 | *1

Dann habe ich es mit n=1 versucht und kam am Ende auf
e^{iphi} -1
Wir haben e^{iphi} =1 in der VL definiert -> |1-1|=0
Allerdings könnte man es auch mit der taylorentwicklung machen die wir noch nicht in er VL hatten und benutzen dürfen.

Wäre um Tipps sehr dankbar.

10.01.2022, 12:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee mit dem Ausklammern ist gar nicht schlecht. Du hast dann $\begin{align*} N \end{align*}$ gleiche Summanden und kannst den Wert der Summe als

$\begin{align*} N \cdot \left| \, \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\varphi}{N}} - 1 \, \right| \end{align*}$

angeben (was nicht weiter erstaunt, denn alle Sehnen sind gleich lang). Jetzt versuche einen Zusammenhang mit dem Differenzenquotienten

$\begin{align*} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i} h} - 1}{h} \end{align*}$

herzustellen. $\begin{align*} h \neq 0 \end{align*}$ ist eine reelle Zahl in der Umgebung von 0.

10.01.2022, 12:59

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Xh_12
Wir haben e^{iphi} =1 in der VL definiert

Na hoffentlich nicht: Es ist zwar $\begin{eqnarray*} \left|e^{i\varphi}\right| = 1 \end{eqnarray*}$ , aber i.a. nicht $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst die Sache natürlich auch "reell" machen: Es ist

$\begin{eqnarray*} \left| e^{in\frac{\varphi}{N}} - e^{i(n-1)\frac{\varphi}{N}} \right| = \left| e^{i\left(n-\frac{1}{2}\right)\frac{\varphi}{N}}\cdot \left( e^{i\frac{\varphi}{2N}} - e^{-i\frac{\varphi}{2N}} \right) \right| = \left| e^{i\left(n-\frac{1}{2}\right)\frac{\varphi}{N}}\right|\cdot \left| 2i\sin\left(\frac{\varphi}{2N}\right) \right| = 2\sin\left(\frac{\varphi}{2N}\right) \end{eqnarray*}$

und dann überlegen, wie du den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1 \end{eqnarray*}$ einbeziehen kannst.

11.01.2022, 14:15

Xh_12

Auf diesen Beitrag antworten »

Da lim sin t/t=1 ist kann doch mein 2n*sin x/2n = x * sin (x/2n) / (x/2n) umschreiben
-> sin (x/2n) / (x/2n) = 1, da t=x/2n ist
Also ist der Limes 2n*sin x/2n=x richtig ?

11.01.2022, 14:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig, wobei du (aus Schreibfaulheit?) statt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geschrieben hast.

11.01.2022, 14:32

Xh_12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, tue mich noch schwer mit dem schreiben.
Vielen Dank Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Kreisbogen durch einen Polygonzug annähern

Verwandte Themen