Ganzzahllösungen (x,a) für cosh(x*arccosh(x-1))=a

11.01.2022, 17:00	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
*Ganzzahllösungen (x,a) für cosh(xarccosh(x-1))=a Meine Frage:** Wenn ich in Gleichung $\begin{eqnarray} \cosh\left(x \cosh^{-1}(x-1)\right)=a \end{eqnarray}$ ganzzahlige $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einsetze, bekomme ich sehr oft (scheinbar immer) ein ganzzahliges $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als Ergebnis. Beispiele sind: $\begin{eqnarray} (2, 1), (3, 26), (4, 577), (5, 15124), (6, 470449) \end{eqnarray}$ . Kann man das erklären? Meine Ideen: Ich hatte probiert, mit der Form: $\begin{eqnarray} \cosh\left(x \cosh^{-1}(x-1)\right)=\frac{1}{2} \left(x+\sqrt{x-2} \sqrt{x}-1\right)^{-x}+\frac{1}{2} \left(x+\sqrt{x-2} \sqrt{x}-1\right)^x \end{eqnarray}$ weiterzukommen - ohne Erfolg.
11.01.2022, 17:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Ganzzahllösungen (x,a) für cosh(xarccosh(x-1))=a** Bei $\begin{eqnarray} x = 2 \end{eqnarray}$ mit dem Additionstheorem: $\begin{eqnarray} \cosh(2y) = \cosh(y)^2 + \sinh(y)^2 = 2 \cosh(y)^2 -1 \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} y= \cosh^{-1}(z) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \cosh(2\cosh^{-1}(z)) = 2\cosh( \cosh^{-1}(z))^2 - 1 = 2 z^2 -1 \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ganzzahlig ist (z.B. $\begin{eqnarray} z = x-1 \end{eqnarray}$ ), dann auch der Wert. Damit kann man iterativ für $\begin{eqnarray} x = 2^n \end{eqnarray}$ sehr leicht zeigen, dass es ganzzahlig ist. Für andere $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wird vermutlich auch das Additionstheorem fúr $\begin{eqnarray} \sinh \end{eqnarray}$ relevant werden und ggf. weitere Umformungen. Edit: $\begin{eqnarray} \cosh(3y)=\cosh(2y + y) =\cosh(2y)\cosh(y) + \sinh(2y)\sinh(y) =\cosh(2y)\cosh y + 2\sinh y \cosh x \cdot \sinh y =\cosh(2y)\cosh y + 2 \cosh y \cdot (\cosh^2 y -1) \end{eqnarray}$ . Auch das ist ganzzahlig. Ich würde es also mal per Induktion versuchen
11.01.2022, 19:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da scheint eine Verwandtschaft zu den Tschebyscheff-Polynomen durch: $\begin{eqnarray} T_n(x) = \cos\left(n\cdot\arccos(x)\right) \end{eqnarray}$ ist ja bekanntermaßen ein Polynom $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Grades in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} \cosh(iz)=\cos(z) \end{eqnarray}$ scheint ähnliches dann auch auf $\begin{eqnarray} U_n(x) = \cosh\left(n\cdot\operatorname{arcosh}(x)\right) \end{eqnarray}$ zuzutreffen. Über Additionstheoreme wird man das dann wohl auch beweisen können. EDIT: Ach Quatsch, es SIND sogar die Tschebyscheff-Polynome, d.h., $\begin{eqnarray} U_n=T_n \end{eqnarray}$ , nur mit anderem Definitionsbereich, nämlich mit $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ . Insofern hat Eldar sogar nur einen kleinen Teil der Ganzzahligkeit erfasst: Es ist dann nämlich tatsächlich so, dass $\begin{eqnarray} \cosh\left(x\cdot \operatorname{arcosh}(y)\right) \end{eqnarray}$ für ALLE ganzzahligen $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\geq 1 \end{eqnarray}$ ein ganzzahliges Ergebnis hat.

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