Differenzengleichung

11.01.2022, 19:08

hula

Differenzengleichung

Moin,

könnte mir jemand die folgende Differenzengleichung mit den AWP lösen?

u(t + 2) - 5u(t + 1) + 6u(t) = 0

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems u(0) = 2, u(1) = 8

Vielen Dank!

11.01.2022, 19:43

HAL 9000

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Wie wäre es, wenn du sie selber löst? Da du den richtigen Begriff "Differenzengleichung" kennst, hast du doch bestimmt auch das Lösungsverfahren kennengelernt:

1) Charakteristische Gleichung aufstellen, hier wäre das $\begin{eqnarray*} \lambda^2-5\lambda+6=0 \end{eqnarray*}$ .
2) Für jede Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der charakteristischen Gleichung ist $\begin{eqnarray*} u(t)=\lambda^t \end{eqnarray*}$ eine Basislösung.
3) Linearkombinationen der Basislösungen ergeben die allgemeine Lösung.
4) Einsetzen der beiden Anfangswerte ergibt die passenden Koeffizienten für die Lösung des AWP.

11.01.2022, 21:01

hula

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Hallo HAL9000,

ich habe mich jetzt mal daran versucht und ich würde mich freuen, wenn du mir weiterhelfen könntest.

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ²-5 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ +6=0

y=C*e^ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x
y'=C*»*e^ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x
y''=C*»²*e^ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x

=> C* $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ²*e^ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x + 6*C* $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *e^ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x + 5*C*e^ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x

Nach Wegkürzen komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ² - 5y + 6 = 0

als »1 bekomm ich 2, als »2 bekomme ich 3 heraus.

Kannst du mir an der Stelle weiterhelfen?

11.01.2022, 21:29

HAL 9000

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Ok, Punkt 1) hast du abgearbeitet und auch die Lösungen bestimmt: 2 und 3.

Laut 2) sind damit sowohl $\begin{eqnarray*} 2^t \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 3^t \end{eqnarray*}$ Basislösungen, die allgemeine Lösung ist somit $\begin{eqnarray*} u(t) = C_1\cdot 2^t + C_2\cdot 3^t \end{eqnarray*}$ , das ist Punkt 3).

Nun zu 4), Anfangswerte einsetzen: Es ist

$\begin{eqnarray*} u(0) = C_1\cdot 2^0 + C_2\cdot 3^0 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(1) = C_1\cdot 2^1 + C_2\cdot 3^1 = 8 \end{eqnarray*}$ ,

d.h., es ist das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} C_1 + C_2 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2C_1 + 3C_2 = 8 \end{eqnarray*}$

zu lösen!

11.01.2022, 22:48

hula

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Okay..

Nach lösen des LGS habe ich für C1 = 6/5 & für C2 = 4/5 raus.

Heißt das jetzt, dass ich diese in die allgemeine Lösung einsetzen muss? Oder was passiert als nächstes?

11.01.2022, 23:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von hula
C1 = 6/5 & für C2 = 4/5

Dieses Paar erfüllt nicht $\begin{eqnarray*} 2C_1+3C_2=8 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

11.01.2022, 23:11

hula

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Oh jo sorry, habe mich auch vertan.

C1 = -2 und C2 = 4

und jetzt? Big Laugh

12.01.2022, 11:05

HAL 9000

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Diesmal klappt die Probe für $\begin{eqnarray*} u(t) = 4\cdot 3^t - 2\cdot 2^t \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

12.01.2022, 11:39

hula

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Also reicht es am Ende zu sagen, dass u(t)=4*3^t - 2*2^t die Differenzengleichungen mit den gegebenen AWP löst?

12.01.2022, 11:50

HAL 9000

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Ja, inhaltlich soweit Ok, aber eine kleine Anmerkung zur Sprachregelung: AWP = Anfangswertproblem = Differenzengleichung mit vorgegebenen Anfangswerten

Insofern ist "Differenzengleichung mit gegebenen AWP" doppelt gemoppelt, es reicht einfach aus stattdessen nur "AWP" zu sagen. Auch möglich wäre "Differenzengleichung mit gegebenen AW" (mit AW = Anfangswert(e)).

12.01.2022, 11:54

hula

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Ok, ich danke dir soweit!

12.01.2022, 14:48

gast_free

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RE: Differenzengleichung
Noch mal so aus Spaß nachgerechnet Augenzwinkern

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} f_{n+2}=5\cdot f_{n+1}-6\cdot f_{n+0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_0=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1=8 \end{eqnarray*}$

Gesucht:
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} f_n=\lambda^n \end{eqnarray*}$

Charakteristische Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \lambda^{n+2}-5\cdot \lambda^{n+1}+6\cdot \lambda^n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^{2}-5\cdot \lambda+6=0 \end{eqnarray*}$

Bestimmung von lambda:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{24}{4}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=\frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=2 \end{eqnarray*}$

Gesamtlösung als Linearkombinationen der partikulären Lösungen:
$\begin{eqnarray*} f_n=c_1\cdot \lambda_1^n+c_2\cdot \lambda_2^n=c_1\cdot 3^n+c_2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten aus den Randbedingungen:
$\begin{eqnarray*} f_0=c_1+c_2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1=3\cdot c_1+2\cdot c_2=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1-2\cdot f_0=c_1=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2=2-c_1=-2 \end{eqnarray*}$

Somit als Lösung:
$\begin{eqnarray*} f_n=4\cdot 3^{n}-2^{n+1} \end{eqnarray*}$

PROBE!
$\begin{eqnarray*} f_0=4-2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1=12-4=8 \end{eqnarray*}$

Beides Korrekt!

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