Zielfunktion aufstellen Standard-Maximierungsproblem

11.01.2022, 21:22	L1lNugget	Auf diesen Beitrag antworten »
Zielfunktion aufstellen Standard-Maximierungsproblem Meine Frage: Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe (siehe Bild). Die richtige Lösung der Koordinaten habe ich in Rot dazugeschrieben, mittlerweile hab ich diese auch nachvollziehen können. Jedoch fehlen mir die nächste Lücken... Meine Ideen: Leider habe ich keine Idee, wie ich die Funktion aufstellen kann.
11.01.2022, 22:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z = ax+by \end{eqnarray}$ Gerade "Z20" heißt $\begin{eqnarray} z=20 \end{eqnarray}$ , und diese Gerade $\begin{eqnarray} 20 = ax+by \end{eqnarray}$ schneidet die beiden Koordinatenachsen in (2,0) sowie (0,20). Daraus kannst du leicht $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ berechnen.
12.01.2022, 15:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der linearen Optimierung ist zunächst mittels der Lösung des entsprechenden Ungleichungssystemes das Planungspolygon festzulegen. Danach ist die Zielfunktion z0) als Gerade in die äußerste Ecke des Polygons so zu verschieben, dass sie nirgends innerhalb des Vieleckes verläuft. Die Koordinaten dieses Eckpunktes werden dann in die linke Seite der Z0-Funktion eingesetzt und die Null durch den neu berechneten Wert ersetzt. Damit ist gleichzeitig der optimale Ertrag festgelegt. mY+
12.01.2022, 15:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen ist das mit den Nebenbedingungen aus der Skizze nicht klar ersichtlich: Vermutlich handelt es sich um Ungleichungs-NB statt um Gleichungs-NB, daher sind die oben eingezeichneten NB-Geraden nur die Ränder der zu den Ungleichungs-NB gehörenden Halbebenen. Aber das kann jeweils eine Halbebene auf dieser oder jener Seite der Gerade sein - das ist allein aus der Skizze nicht ersichtlich. Man kann nur annehmen, dass es immer diejenige Halbebene ist, in der der Koordinaten-Nullpunkt liegt - aber zwingend ist dies m.E. nicht. P.S.: Wenn beispielsweise zu NB3 stattdessen die Halbebene rechts oberhalb dieser Geraden gehören würde, dann wäre das winzige Dreieck um den Punkt (4,29) herum das zulässige Gebiet des Linearen Optimierungsproblems, mit einer dann ganz anderen Lösungsecke als (8.5,0) .
12.01.2022, 22:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, die Nebenbedingungen sind Ungleichungen und die Geraden sind die Ränder des Planungsvieleckes. Die zutreffenden Punkte liegen in Halbebenen, in denen die Geraden - je nach Relationszeichen bei der Ungleichung - eingeschlossen sind oder nicht. Die Schnittmenge aller durch die Nebenbedingungen gegebenen Halbebenen bezeichnet das Planungspolygon (Planungsvieleck). Zusammen mit den beiden Nichtnegativitätsbedingungen $\begin{eqnarray} x \geq 0, y \geq 0 \end{eqnarray}$ ergibt sich somit hier ein 5-Eck. Die Aufgabe könnte unvollständig gestellt sein, es fehlen die Angaben der Nebenbedingungs-Ungleichungen. Allerdings steht in der Angabe, dass die Geraden-NB.. die äußersten Grenzen des Planungsgebietes sind, dies lässt eher das 5-Eck als gegeben erscheinen. Wie dem auch sei ... Die Lösung (8.5, 0), die der Schüler eingetragen hat, impliziert, dass bei allen 5 Ungleichungen das Relationszeichen " $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ " ist. Das Planungspolygon ist ein 5-Eck und die optimale Lösung ist ein Maximum. [attach]54328[/attach] Auf Grund der angegebenen Musterlösung könnte man auch annehmen, dass die Ungleichungen so lauten: $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \leq 30 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 40x + 13y \color{red}\geq \color{black}520 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 120x + 17y \leq 1020 \end{eqnarray}$ und ein Minimum (?) zu suchen ist. Damit handelt es sich jedenfalls um ein Planungs-Dreieck. Nun muss in der Tat entschieden werden, ob die Zielfunktion ein Maximum oder ein Minimum ergeben soll. Beim Verschieben der IsoZielfunktion kann sowohl der Punkt (3.25, 30) als auch der Punkt (5.02, 24.55) erreicht werden. In beiden Fällen schneidet die Zielgerade NICHT das Dreieck, es sind also beide Lösunge möglich. Die weiter links verlaufende Zielgerade bezeichnet daher ein Minimum, die Gerade rechts ergibt ein Maximum. Beim Einsetzen deren Koordinaten werden die optimalen Mengen: Minimum 62.5 und Maximum 74.77 erreicht. [attach]54330[/attach] mY+

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