Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen

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planlos33 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich bin etwas am Verzweifeln: Aufgabe:
Zeigen Sie, dass s_n(x) = summe k=1 bis n 1/(x-k)^2 mit DefB R\N gleichmässig konvergiert gegen f(x)= summe k=1 bis unendlich 1/(x-k)^2.


Meine Ideen:
Gleichmäßig konvergent heißt ja, dass man die Differenz f(x) - s_n(x) unabhängig von x abschätzen muss und dann n -> unendlich gehen lässt. Wenn aber x sehr nahe an eine natürliche Zahl kommt ist ein Term in der Summe 1/0.000001^2 sehr groß bzwl beliebig groß. Dann kann ich f-sn = summe k=n+1 bis unendlich nicht unabhängig von x abschätzen....
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Die Aussage ist auch falsch, wie du richtig begründet hast. Man müsste den Definitonsbereich einschränken, damit die gl. Konvergenz gilt.
planlos33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Danke, dann habe ich vielleicht die Aufgabenstellung falsch verstanden. Sie lautet wörtlich:

Zeigen Sie: Die Funktion f: R\N -> R, f(x) = wie oben ist wohldefiniert und stetig. Hinweis: Betrachten Sie für den Nachweis die Funktionenfolge sn(x)= wie oben auf geeigneten Teilintervallen von R und zeigen Sie dort gleichmäßige Kovergenz.

Aber das änder doch nichts an der Sachlage. Klar, kann ich mir Teilintervalle anschauen, in denen f(x) nicht nach oben unbeschränkt ist, aber das interessiert doch nicht oder? Was soll da der Trick sein?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Das ist ja was anderes! Du sollst zeigen, dass sie wohldefiniert und stetig ist. Dafür muss die Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergieren. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt die Stetigkeit der Grenzfunktion, aus der Stetigkeit der Grenzfunktion folgt aber nicht die gleichmäßige Konvergenz!

In dem Fall könnte man bspw. die lokale gleichmäßige Konvergenz nachweisen.
planlos33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
D.h. schaue mir die Intervalle zwischen den natürlichen Zahlen an und zeige dort Stetigkeit, indem ich auf z.B. (1,2) gleichmäßige Konvergenz zeige? Dann habe ich doch wieder das Problem, dass der Wertebereich unbeschränkt ist. Ich verstehe nicht ganz, wie mir die gleichmäßige Konvergenz da helfen soll.
planlos33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Idee von mir: Man zeigt gleichmäßige Konvergenz auf [a,b] wobei a,b beliebige reelle Zahlen sind zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Dann betrachte ich (-unendlich,0) und zeige dort glm. Konvergenz. Dann muss ich nur noch zeigen, dass die abschnittsweise definierten Fkt. stetig sind. Wie mache ich das?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Lokal-gleichmäßig ist ein fester Begriff. Eine Funktionfolge konvergiert lokal-gleichmäßig auf , wenn für jede kompakte (!) Teilmenge gilt, dass gleichmßig auf konvergiert. Und das kann man zeigen. Z.B. Lokal-gleichmäßig auf würde ausreichen, dass es gleichmäßig auf für alle konvergiert.
planlos33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Ok danke, das habe ich soweit verstanden denke ich. Wie könnte ich nun einfach erklären, dass es reicht, die Lokale gleichmäßige Konvergenz nur auf einem Intervall zwischen zwei natürlichen Zahlen als Def. Lücke zu zeigen? Wie könnte man es beweisen, dass f strukturell gleich ist auf (1,2) wie auf (2,3), (3,4) etc.?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen
Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft. Wenn du zeigen kannst, dass es auf jeder "Zusammenhangskomponente" stetig ist, dann ists insgsamt stetig. Allgemein wenn du eine Folge von disjunkten, offenen Intervallen hast, dann bedeutet: stetig ist, dann auch die Fortsetzung .

(Grob: Sei , d.h. es gibt genau ein mit . Dann wähle so klein, dass . Ab der Stelle im Stetigkeitsbeweis siehst du also nicht einmal mehr, dass die Funktion überhaupt auf anderen Intervallen definiert ist. Geschweige denn dass es wichtig wäre wie sie dort definiert ist).

Ich würde auch nicht versuchen struktuelle Ähnlichkeit zu zeigen, sondern für alle die lokal-gleichmäßige Konvergenz auf nachweisen.
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