Regel von l'Hospital

13.01.2022, 08:48	Lip	Auf diesen Beitrag antworten »
Regel von l'Hospital Meine Frage: Ich hab im Anhang eine Bsp. Aufgabe angefügt. Ich bräuchte eine step by step Anleitung zum Lösungsweg, ich kann's leider überhaupt nicht nachvollziehen was gemacht wurde. Meine Ideen: sorry, leider absolut keine Idee Willkommen im Matheboard! Ich habe die beiden Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen
13.01.2022, 11:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na Grundsituation ist, dass die beiden Integralwerte in Zähler wie Nenner für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ ebenfalls gegen Null konvergieren, schlicht und einfach deshalb, weil die Längen der Integrationsintervalle auch gegen Null gehen und die Integranden stetig (und damit lokal beschränkt) sind. Damit ist L'Hospital anwendbar, sofern die Ableitungen von Zähler- wie Nennerfunktion im Punkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ existieren und der Grenzwert von deren Quotient existiert. Bei b) kann man die Leibniz-Regel anwenden, muss es aber nicht, weil es auch einfacher geht: Sei $\begin{eqnarray} G(t) \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} t\mapsto \cos\left(\frac{t^2}{4}\right) \end{eqnarray}$ , d.h., mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} G'(t)=\cos\left(\frac{t^2}{4}\right) \end{eqnarray}$ . Dann folgt aus dem Hauptsatz der Integralrechnung $\begin{eqnarray} g(x) = G(2x)-G(0) \end{eqnarray}$ , und damit gemäß Kettenregel $\begin{eqnarray} g'(x) = G'(2x)\cdot 2 - 0 = 2\cdot \cos\left(\frac{(2x)^2}{4}\right) = 2\cdot \cos\left(x^2\right) \end{eqnarray}$ . P.S.: Die Leibnizregel umfasst den noch allgemeineren Fall, dass der Integrand nicht nur von der Integrationsvariable $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ (wie hier), sondern auch noch von der äußeren Variable (hier $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ) abhängt.

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