Gold- und Silbermünzen |
13.01.2022, 09:29 | Elgalactico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gold- und Silbermünzen Zwei Hirten verkaufen ihre gemeinsame Schafsherde. Ein Interessent bietet ihnen pro Schaf so viele Silberstücke, wie es Tiere in der Herde gibt und kauft die ganze Herde. Den Betrag entrichtet er in Gold- und Silbermünzen, wobei eine Goldmünze den zehnfachen Wert einer Silbermünze hat. Anschließend teilen die beiden Hirten den Erlös auf. Zuerst nimmt sich Hirte Nummer 1 eine Goldmünze, dann Hirte Nummer 2, dann wieder Hirte Nummer 1, usw. ? bis alle Goldmünzen verteilt sind. Hirte Nummer 1 bekommt die letzte Goldmünze. Dafür bekommt Hirte Nummer 2 alle Silbermünzen. Hirte Nummer 2 ist aber nicht glücklich und beschwert sich: ?Unfair, du hast mehr bekommen als ich!? Hirte Nummer 1 erwidert: ?Das stimmt. Ich gebe dir dafür meinen seltenen Hut.? Dies findet Hirte Nummer 2 in Ordnung: ?Jetzt haben wir genau gleich viel abbekommen!? Wie viele Gold- und / oder Silbermünzen ist der seltene Hut von Hirte Nummer 1 wert? Meine Ideen: Also wenn die Goldmünzen x entsprechen, und die Silbermünzen y, dann wäre es ja, x=y?10 Ich komme nicht weiter,,,, |
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13.01.2022, 10:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe ist problemlos lösbar, wenn man schon mal was von "quadratischen Resten" gehört hat - im vorliegenden Fall geht es speziell um die quadratischen Reste modulo 20. Zur Kontrolle schon mal die Antwort: Der Hut ist genau zwei Silbermünzen wert. |
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13.01.2022, 12:45 | Elgalactico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rückfrage Danke für deine Antwort.. Ich habe leider keine Ahnung von dem Moduls und habe mich durch kurzes belesen nicht verbessern können. Haben sie eventuell einen gesamten Lösungsweg? Mit freundlichen Grüßen |
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13.01.2022, 12:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: Wow, dass man es wirklich genau festnageln kann. Genial |
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13.01.2022, 13:00 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Hirt 1 bekommt Goldstücke, was im Wert genau Silberstücken entspricht. b) Hirt 2 bekommt Goldstücke und Silberstücke, was im Wert genau Silberstücken entspricht. c) Da sich Hirt 2 ungerecht bezahlt fühlt, muss sein, d.h. . Wir halten fest, dass dann außerdem der Gegenwert des Hutes sein muss. d) In der Summe ergeben die beiden Bezahlungen , wobei die Anzahl der verkauften Schafe ist. Wir haben somit und wissen wegen c) bereits . e) Kommen wir zum Kern des Problems: Welche quadratischen Reste gibt es überhaupt modulo 20? Das sind , mehr nicht! f) Aus d)+e) folgt zwingend , und damit sowie wegen c) dann Hutwert Details zu Punkt e) Es geht um die Frage, welche Reste der Term geteilt durch 20 überhaupt nur annehmen kann. Das kann man sich beispielsweise so überlegen: Jede natürliche Zahl lässt sich darstellen gemäß mit einem . Mit diesem Ansatz ist dann gemäß binomischer Formel . Das bedeutet, dass überhaupt nur diejenigen Reste annehmen kann wie auch . Und da gehen wir mal die -Werte durch: 0,1,4,9,16,25, wobei die 25 noch zu 5 reduziert wird als Rest der Division durch 20. Auf diese Weise kommen die oben bei e) genannten Reste zustande, auch ohne dass man die Modulo-Rechnung beherrscht. P.S.: Die genaue Größe der Herde bekommen wir hier nicht raus, wir wissen aus den obigen Überlegungen nur , denkbare Werte sind somit . |
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13.01.2022, 14:58 | Elgalactico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen lieben Dank, aber wie genau kommst du am Anfang auf die 10? |
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13.01.2022, 15:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na ordentlich durchlesen sollte man sich den Text schon:
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19.01.2022, 14:23 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin von einem etwas anderen Ansatz ausgegangen, komme aber ab "Haltepunkt 1" nur mit HALs* Idee weiter, die er in "Details zu Punkt e)" ausführt. Der Preis für die Schafherde in Silbermünzen ausgedrückt ist eine Quadratzahl, und zwar ein Quadrat einer natürlichen Zahl: Schafpreis (n) = Anzahl der Schafe Gesamtpreis = Schafpreis (n) mal Schafpreis (n) = n² Hirte 1 hat eine Goldmünze mehr als sein Weidenkollege, denn er nimmt die erste und die letzte Münze in Gold. Die Anzahl der Silbermünzen nach dem Einwechseln in Goldmünzen muss weniger als 10 sein, denn Hirte 2 ist ja damit nicht zufrieden, dass er das restliche Silber statt jener einen zusätzlichen Goldmünze von Hirte 1 bekommt. Das Gold in Silbermünzen umgerechnet ist ein Vielfaches von 10, daher ist gleichzeitig die Einerstelle der Quadratzahl. Dafür kommen nur 1, 4, 5, 6 und 9 infrage. Davon kann man die ungeraden ausschließen, denn: Will man im Bereich der natürlichen Zahlen das Mittel zweier verschiedener Zahlen finden - das ist ja das Anliegen der beiden Hirten-, müssen - entweder beide gerade - oder beide ungerade sein. Nur so kann die Differenz, die somit eine gerade Zahl ist, halbiert und eine Hälfte davon von der größeren Zahl abgezogen und zur kleineren gegeben werden. Hirte 1 hat, in Silbermünzen umgerechnet, eine gerade Anzahl von Münzen, also muss dies auch für Hirte 2 gelten. Sei die Anzahl der Goldmünzen, die Hirte 2 erhalten hat, dann kann man die Quadratzahl so darstellen: Haltepunkt 1: Jetzt benötige ich die erwähnte gedankliche Anleihe bei HAL 9000. Seine allgemeine Darstellung einer Quadratzahl läßt für (01) folgenden Schluss zu: , woraus wiederum folgt. * Was ist eigentlich der Genitiv von HAL 9000 |
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19.01.2022, 14:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, wieso soll das ein Anliegen sein? Das würde nur dann stimmen, wenn der als Ausgleichszahlung dienende Hut zwingend eine ganzzahlige Silbermünzenanzahl wert sein soll. Davon lese ich aber nichts - d.h., ohne eine solche Voraussetzung könnte er doch beispielsweise auch 3.5 Silbermünzen wert sein? Letztendlich braucht man eine solche Bedingung ja auch gar nicht. |
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19.01.2022, 19:06 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
3.5 entfällt, weil dann die Differenz 7 wäre; die kann aber nie auftreten. Als Differenz kommen ja nur die gleichen Werte wie für in Frage, nämlich 1, 4, 5, 6 oder 9. Aber ohne diese Voraussetzung einer ganzzahligen Lösung fehlt mir ein Schritt. Dann geht es so eben nicht. |
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19.01.2022, 19:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja schon klar, aber auf der Ebene argumentiert kann man ja auch gleich sagen, dass alle Werte außer 2 entfallen. Aber ich denke schon du weißt, wie ich das gemeint habe. |
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24.06.2022, 23:40 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Rätselaufgabe von laila49 hat mir wieder diesen älteren Thread in Erinnerung gerufen und mich veranlasst, alles nochmal durchzugehen. Der Satz
Leider fällt mir das jetzt erst auf. Sorry HAL, wenn Du auf Antwort gewartet hast. Ich wollte in meinem weitschweifigen Beitrag nur darauf hinaus, die beiden Terme für n² gleichzusetzen: Bleibt für b² nur 16, weil es das einzige natürliche Quadrat größer 10 und kleiner 20 ist. |
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