Differential von 1-Form und k-Formen i.A.

13.01.2022, 22:36	Namenloser3245	Auf diesen Beitrag antworten »
Differential von 1-Form und k-Formen i.A. Moin, ich befasse mich mit einem mir neuen Themenbereich, den Differentialformen und rechne gerade Übungaufgaben. Daher wäre es super, wenn mir jemand sagen könnte ob ich es richtig verstanden habe: Gegeben die Differentialformen $\begin{eqnarray} w_1 = cos(x) dx \wedge y dz; w_2 = e^{-y^2-xz}dy + arctan(z)dx ; w_3 = (cos(x^2+y^2+z^3))^2 -1 ; w_4 = (x^2y^3 - 4 z^4)dx \wedge dz \wedge dy \end{eqnarray}$ Verstehe ich es richtig das w_1 eine 2-Form, w_2 eine 1-Form, w_3 eine 0-Form und w_4 eine 3-Form ist? Ich soll dann unter anderem das Differential von w_2 berechnen. Ich habe raus $\begin{eqnarray} dw_2 = \frac{1}{1+z^2} dz \wedge dx + z g(x,y,z) dy \wedge dx + g(x,y,z) x dy \wedge dz \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x,y,z) = e^{-y^2-xz} \end{eqnarray}$ . Dann eine weitere Frage zum Verständnis des Dachprodukts. Wenn ich es richtig verstehe, so haben wir es ja mit [dx,dy,dz] mit der kanonischen Dualbasis der kanonischen Basis des R^3 zu tun. D.h. ist $\begin{eqnarray} v\in\mathbb{R}^3, v = (1,2,-1)^T \end{eqnarray}$ so wäre etwa $\begin{eqnarray} dx(v) = 1, dy(v)=2, dz(v) = -1 \end{eqnarray}$ und weiter z.B. $\begin{eqnarray} (dx \wedge dy)(v_1,v_2) = det \begin{pmatrix}<br /> dx(v_1) & dx(v_2) \\<br /> dy(v_1) & dy(v_2) <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und somit würde ich erhalten $\begin{eqnarray} (dx \wedge dy)(v_1,v_2) = v_{1,x} v_{2,y} - v_{2,x}v_{1,y} \end{eqnarray}$ korrekt? Was motiviert das Dachprodukt?

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