Grundfläche eines Kegels durch Volumen und Böschungswinkel

14.01.2022, 13:23

unkreativerStudent

Grundfläche eines Kegels durch Volumen und Böschungswinkel

Meine Frage:
Ich soll die benötigte Fläche eines Erdhaufens bestimmen. Dabei ist bekannt, dass der Böschungswinkel 30° ist. Das Volumen wurde ebenfalls zuvor berechnet.
Wie kann ich ohne gegebene Höhe die Fläche/Radius berechnen?

Meine Ideen:
V= 1/3*?*r²*h --> r= ? 3V/?*h A=?*r²
Über Trigonometrie: tan(30°)=h/r; cos(30°)=r/s

14.01.2022, 13:52

Steffen Bühler

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RE: Grundfläche eines Kegels durch Volumen und Böschungswinkel
Willkommen im Matheboard!

Du benötigst

$\begin{eqnarray*} \varphi =\arctan\frac{r}{h} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot h \end{eqnarray*}$

Dann das r oder h von der oberen in die untere Gleichung einsetzen.

Viele Grüße
Steffen

14.01.2022, 14:39

unkreativerStud

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RE: Grundfläche eines Kegels durch Volumen und Böschungswinkel
Hi Steffen, danke für deine Antwort!

So weit war ich auch schon. Den radius r versuche ich ja zu ermitteln um auf eine Fläche zu kommen. Leider fehlt mir eine Höhe h. Ist eine Berechnung dann überhaupt möglich?

Du bist jetzt zweimal angemeldet, unkreativerStudent wird daher demnächst wieder gelöscht. Ansonsten siehe den Kommentar des Kollegen. Steffen

14.01.2022, 15:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von unkreativerStudent
Das Volumen wurde ebenfalls zuvor berechnet.

Ok, das deute ich mal so, dass neben dem Böschungswinkel 30° auch das Volumen bekannt ist. Na das reicht doch:

$\begin{eqnarray*} h = r\cdot \tan\left(30^{\circ}\right) = r\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{3}r^2h \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}r^3 \end{eqnarray*}$ , und damit aufgelöst $\begin{eqnarray*} r = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\cdot V} \end{eqnarray*}$ . Alles weitere (Grundfläche, Höhe usw.) ergibt sich daraus dann.

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