Bücher ausleihen

14.01.2022, 15:57	Dereineda	Auf diesen Beitrag antworten »
Bücher ausleihen Moin, ich stehe gerade bei meiem Aufgabenblatt bei den Kombinatorik Aufgaben an.. In einer Bibliothek stehen 128 Bücher, 64 Zeitschriften in den Regalen. 1. Sie leihen sich 42 Bücher aus, wie viele Kombinationen gibt es? $\begin{eqnarray} \binom{128}{42} \end{eqnarray}$ Wäre jetzt meine Vermutung. Falls dies die Richtige Antwort ist, soll man das dann noch anders hinschreiben oder ist dies eine gültige abschließende Antwort? Ausrechnen kann man es ja ohnehin nicht, bzw. ist die Zahl halt so endlos lang dass das ja auf keinen Fall gefordert sein wird. 2. Eine Stunde später leiht sich ein Kommilitone 4 Bücher und 5 Zeitschriften aus. 128 Bücher - 42 Bücher = 86 zur Auswahl $\begin{eqnarray} \binom{86}{4} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \binom{64}{5} \end{eqnarray}$ 3. Am nächsten Tag wird bemerkt dass 10 ihrer Ausleihen(bestimmte Bücher) dringend wieder benötigt werden. Außerdem wurde übersehen dass es nur erlaubt ist maximal 7 Bücher auszuleihen. Wie viele Varianten gibt es die überzähligen Bücher zurückzugeben? 42-10 = 32 Bücher zurückzugeben $\begin{eqnarray} \binom{32}{25} \end{eqnarray}$ 4. Mittlerweile sind alle Werke zurückgegeben. Sie wählen sich 35 aus, geben Sie den Ausdruck an, der die Anzahl der Ziehungen beschreibt, so dass Sie am Ende genau 12 Bücher und 23 Zeitschriften haben. Leider weiss ich nicht wie ich die [ ] Klammern für den Ausdruck in Latex verwende. $\begin{eqnarray} \frac{128!}{(128-12)!} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \frac{64!}{(64-23)!} \end{eqnarray}$ (oder kann ich hier addieren?) 5. Sie erfahren dass der Jahrgangsstreber mittlerweile 43 Bücher und 32 Zeitschriften ausgeliehen hat, die er jetzt fast alle zurückgeben muss. Er hat sich das Ziel gesetzt 50 Werke durchzuarbeiten. Darunter mindestens 20 Bücher. Wie viele verschiedene Auswahlen sind möglich? Muss ich hier erstmal nur meine Ausgeliehenen abziehen? Somit in der Bib: 116 Bücher, 31 Zeitschriften Für die 20Bücher: $\begin{eqnarray} \binom{128}{20} \end{eqnarray}$ Für die restlichen 30 Werke: ( nur noch 108 Bücher zur Auswahl und 31 Zeitschriften = 139 total $\begin{eqnarray} \binom{139}{30} \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} \binom{128}{20} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \binom{139}{30} \end{eqnarray}$
14.01.2022, 17:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1)-3) sehe ich auch so. Warum du dann bei 4) nicht bei den Binomialkoeffizienten bleibst, weißt du wohl nur selbst. Ich denke, hier ist Anzahl $\begin{eqnarray} N=\binom{128}{12}\cdot \binom{64}{23} \end{eqnarray}$ gesucht. Sollte tatsächlich die Ziehungsreihenfolge eine Rolle spielen, wäre dein Wert aber auch nicht richtig, sondern $\begin{eqnarray} N\cdot 35! \end{eqnarray}$ . 5) ist etwas krude formuliert. Ich kann nur annehmen dass es so gemeint ist, dass der sog. "Jahrgangsstreber" unter seinen 43 Büchern + 32 Zeitschriften 50 Werke so auswählt, die er zunächst behält (d.h. nicht sofort zurückgibt). Und zwar in der Weise, dass mindestens 20 Bücher in der Auswahl sind. Sind in der Auswahl genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Bücher, so zwangsläufig $\begin{eqnarray} 50-k \end{eqnarray}$ Zeitschriften. Mögliche Werte sind $\begin{eqnarray} 20\leq k\leq 43 \end{eqnarray}$ , und die Gesamtanzahl dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=20}^{43} \binom{43}{k}\cdot \binom{32}{50-k} \end{eqnarray}$ . EDIT: Vom Berechnungsaufwand einfacher ist übrigens folgendes Vorgehen: Wir betrachten zunächst ALLE Auswahlen von 50 aus den 75 Büchern+Zeitschriften, und subtrahieren dann die Varianten, welche aus 19 oder weniger Büchern bestehen, dann kommt nämlich einfach raus $\begin{eqnarray} \binom{75}{50} - \sum_{k=18}^{19} \binom{43}{k}\cdot \binom{32}{50-k} = \binom{75}{50} - \binom{43}{18} - \binom{43}{19}\cdot 32 \end{eqnarray}$ .
15.01.2022, 10:37	Dereineda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlichgesagt keine Ahnung was ich da bei 4 für eine geistige Umnachtung hatte. Wenn ich es mir nochmals durchlese, scheint deine Interpretation von 5 so gedacht zu sein wie du das formulierst. Vielen Dank!

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