Quadratische Matrizen beliebig potenzieren

14.01.2022, 20:28	helau01	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Matrizen beliebig potenzieren Meine Frage: Hallo zusammen, ich verzweifle hier gerade maximal an linearer Algebra. Wir hatten in der Vorlesung jetzt Basiswechsel und Darstellungsmatrizen behandelt (aber noch keine Invertierbarkeit), und ich bin bei folgender Aufgabe echt planlos, wie man das beweisen soll. Sei A eine n x n Matrix. Zeigen Sie, dass es ein m in den natürlichen Zahlen gibt, sodass A^m = lambda0 * Einheitsmatrix + lambda1* A^1 + lambda2* A^2 + ? + lambda(m-1)* A^(m-1), also eine Linearkombination ist. Meine Ideen: Ich habe es mit Induktion versucht, das klappt aber nicht. Wir hatten über Matrizen außer die Darstellung linearer Abbildungen und Basiswechsel fast gar nichts dazu gemacht. Erst in 2 Wochen behandeln wir Invertierbarkeit und Determinanten. Ich wäre um eine Hilfestellung sehr dankbar, da ich mich schwer tue in diesem Fach.
14.01.2022, 21:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Matrizen beliebig potenzieren Die Matrizen $\begin{eqnarray} (A^k)_k \end{eqnarray}$ sind im Vektorraum der $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrizen erhalten. Die Dimension ist $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ und damit kann es höchstens so viele lineare unabhängige Matrizen mit $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ geben. Sei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ die Zahl, so dass $\begin{eqnarray} \mathrm{span}(A^0, A^1, \ldots, A^{m-1}) \end{eqnarray}$ maximal ist. D.h. egal welche Matrizen $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ man hinzufügt, der Raum wird nicht größer. Damit kannst du deine Linearkombination begründen.
14.01.2022, 21:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektorraum der $\begin{align} n \end{align}$ -reihigen quadratischen Matrizen hat endliche Dimension. Dann kann es aber keine unendliche Folge $\begin{align} E, A, A^2, A^3, \ldots \end{align}$ linear unabhängiger Matrizen geben.

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