Quaderberechnung

15.01.2022, 15:18

Spender

Quaderberechnung

Moinsen,

wie wäre hier der Ansatz:
Quader
gegeben: b, V und O
gesucht: a, c

Umstellen der Volumenformel nach a und dann einsetzen ?

Es dankt
der Spender

15.01.2022, 15:25

klauss

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RE: Quaderbrerechnung
Buchstaben ohne Definition sagen nicht viel aus.
Ist
- b eine Kantenlänge (die gegeben und folglich nicht mehr gesucht ist)?
- V das Volumen?
- O die Oberfläche?

15.01.2022, 15:27

G150122

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RE: Quaderbrerechnung
V= a*b*c

a= V/(b*c)

O= 2*(ab+ac+bc)

15.01.2022, 20:20

Spender

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Ja,

b ist eine Kantenlänge
O ist die Oberfläche
und V das Volumen

Man kann auch Voberfläche oder Oolumen sagen Augenzwinkern

O = 2(Vb/bc + Vc/bc + bc)
O= 2 (V/c + V/b + bc) Darf man nun hier lediglich die Klammer erweitern mit *bc? Oder muss die Klammer aufgelöst werden und dann mit bc erweitert werden?

Es dankt
der Spender

15.01.2022, 20:36

klauss

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Welchen Weg Du auch immer gehst, entscheidend ist, dass die Gleichung als nächstes nach einer Unbekannten aufgelöst wird mit den üblichen Rechenregeln. Vielleicht ist dieser Weg nicht so günstig, weil das gesuchte c jetzt im Nenner steht. Wenn man nun mit c durchmultipliziert, wird die Gleichung quadratisch in c.

Ich wäre eher so vorgegangen:
Wenn b bekannt ist (!), dann ist
O = ka + 2ac + kc mit k = 2b
Diese Gleichung läßt sich leicht nach a oder c auflösen und dann das Ergebnis in eine der anderen Gleichungen einsetzen.

15.01.2022, 20:45

mYthos

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RE: Quaderberechnung

Zitat:

Original von Spender
...
gegeben: b, V und O
...

Das soll eher so heissen:
gegeben: c, V und O

Damit hat man ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen (über V und O) mit den beiden Unbekannten a, b

(1) a*b=V/c
(2) a+b = O/(2c)-V/c²

Dies führt letztendlich auf eine quadratische Gleichung.

mY+

15.01.2022, 21:28

Spender

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@klauus

O = ka + 2ac + kc mit k = 2b | -ka
O-ka =2ac + kc | wie bekomme ich jetzt das c alleine gestellt? *1/2ak?

O-ka/2ak = c/k + c/2a ? Der HN wäre 2ak, oder?

Es dankt
der Spender

@ mythos
es is schon b gegeben nicht c.

15.01.2022, 21:36

klauss

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Nun, letztlich führt es später auch bei mir auf eine quadratische Gleichung ...
Jedenfalls ist

O = 2ab + 2ac + 2bc = a(2b + 2c) + 2bc

(O - 2bc)/(2b + 2c) = a

Alternativ kann auch c ausgeklammert werden.

Das k kannst Du eigentlich vergessen. War nur weil b ja als bekannt gilt.

15.01.2022, 22:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spender
es is schon b gegeben nicht c.

Wenn man sich schon bei der eigenen Aufgabenstellung verschreibt, und dadurch unnötig Verwirrung stiftet, dann sollte man nicht an einem Rettungsversuch anderer altklug herumkritteln, sondern die Aufgabenstellung SELBST nochmal komplett und unmissverständlich korrigieren, also:

Zitat:

Quader
gegeben: b, V und O
gesucht: a,c

Aus $\begin{eqnarray*} V=abc \end{eqnarray*}$ folgt dann

$\begin{eqnarray*} (1)\quad a\cdot c = \frac{V}{b} \end{eqnarray*}$ ,

und aus $\begin{eqnarray*} O = 2(ab+bc+ac) = 2\left(ab+bc+\frac{V}{b}\right) \end{eqnarray*}$ nach Division durch $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ sowie Umstellung

$\begin{eqnarray*} (2)\quad a+c = \frac{O}{2b}-\frac{V}{b^2} \end{eqnarray*}$ .

Beide Gleichungen (1)(2) kann man im Lichte des Vieta-Satzes direkt so deuten, dass $\begin{eqnarray*} a,c \end{eqnarray*}$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 - \left(\frac{O}{2b}-\frac{V}{b^2}\right)x + \frac{V}{b} = 0 \end{eqnarray*}$

sind.

16.01.2022, 09:16

Spender

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@hal
sorry das hatte ich nicht gesehen! Habe den Beitrag geändert!

Gibt es eine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen ohne Vieta?
@klauus wie würde ich dann weitermachen?

ES dankt
der Spender

16.01.2022, 09:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spender
Gibt es eine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen ohne Vieta?

Das wurde doch schon mehrfach angesprochen: So oder so ist eine quadratische Gleichung unumgänglich. Vieta ist nur der schnellste, direkte Weg dahin.

16.01.2022, 10:40

Spender

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(O - 2bc)/(2b + 2c) = a

V= abc

c= V/ab

c= V/(O-2bc)/(2b+c)*b

Wie löse ich das nach c auf?

Es dankt
der SPender

16.01.2022, 12:56

mYthos

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Wie schon (oft) gesehen (?), schau nach bei HAL!

(1) a*c = V/b
(2) a + c = O/(2b) - V/b²
-------------------------------
aus (2) eine Variable freistellen und in (1) einsetzen

mY+

16.01.2022, 12:59

klauss

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RE: Quaderberechnung
Es empfiehlt sich, jetzt mal schöner zu schreiben.

$\begin{eqnarray*} c=\frac{V}{\frac{O-2bc}{2b+2c} \cdot b} =\frac{V(2b+2c)}{(O-2bc)b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (O-2bc)bc=V(2b+2c) \end{eqnarray*}$

Geht es jetzt?

Vieta wird wohl in der Schule angesprochen, ist aber nach meiner Erfahrung häufig nicht so gefestigt.

16.01.2022, 13:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Vieta wird wohl in der Schule angesprochen, ist aber nach meiner Erfahrung häufig nicht so gefestigt.

Ja, wenn man die Geschichte so zerredet (wie hier im Thread geschehen), ist der Vorteil, gleich in einem Aufwasch damit $\begin{eqnarray*} a,c \end{eqnarray*}$ zu berechnen, natürlich komplett dahin. Augenzwinkern

Ich hatte nur gedacht, dass jemand nach über 9 Jahren Kenntnis von quadratischen Gleichungen auch mal bereit ist, andere Impulse aufzunehmen... nun gut, da lag ich wohl falsch.

16.01.2022, 20:16

Spender

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RE: Quaderberechnung

Zitat:

Original von klauss
Es empfiehlt sich, jetzt mal schöner zu schreiben.

$\begin{eqnarray*} c=\frac{V}{\frac{O-2bc}{2b+2c} \cdot b} =\frac{V(2b+2c)}{(O-2bc)b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (O-2bc)bc=V(2b+2c) \end{eqnarray*}$

Geht es jetzt?

Vieta wird wohl in der Schule angesprochen, ist aber nach meiner Erfahrung häufig nicht so gefestigt.

es fängt bzw. hört schon früher auf.
Warum kommen die 2b+2c in den Zähler?
Das ist doch ein Doppelbruch
$\begin{eqnarray*} \frac{V}{O-2bc}b : \left(2b+2c\right) \end{eqnarray*}$
Dann wird doch aus den 2b+2c da mit dem Kehrwer multipliziert wird 1/2b+2c und es stünde im Nenner.
Wo ist der Fehler?

Es dankt
der Spender

16.01.2022, 23:25

mYthos

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RE: Quaderberechnung

Zitat:

Original von Spender
...
Warum kommen die 2b+2c in den Zähler?
Das ist doch ein Doppelbruch
$\begin{eqnarray*} \frac{V}{O-2bc}b : \left(2b+2c\right) \end{eqnarray*}$
Dann wird doch aus den 2b+2c da mit dem Kehrwer multipliziert wird 1/2b+2c und es stünde im Nenner.
Wo ist der Fehler?
...

Ich weiß zwar nicht genau, auf welcher Schulstufe du dich befindest, aber mit Doppelbrüchen solltest du jedenfalls schon besser vertraut sein.
Ein zweiter Fehler ist jener, dass das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , welches sich bei Klauss eindeutig im Nenner befindet, bei dir plötzlich in den Zähler wandert.

Insgesamt besteht der Eindruck, dass du mit Brüchen nicht besonders gut umgehen kannst, wobei aber beim algebraischen Rechnen eine gewisse Routine unbedingt erforderlich ist.
Vorschlag: Besorge dir Aufgaben über Bruchrechnung aus der Unterstufe und übe fleißig Big Laugh

Falls dir ein Doppelbruch Probleme bereitet, kannst du dieses umgehend elegant umgehen, indem du darauf die einfachen Divisionsregeln* anwendest:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac b c} = a : \frac b c = a \cdot \frac c b \end{eqnarray*}$

Jetzt siehst du sofort, dass der Teilnenner des Hauptnenners in den Teil- bzw. Hauptzähler kommt.
Erklärung:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac a b}{\frac c d} \ \to \ \frac a b \text{ .. Hauptzähler}, \ \frac c d \text{ .. Hauptnenner} \quad \frac{\frac a b}{\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac{ad}{bc} \end{eqnarray*}$

(*) Zwei Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
---------------

In der vorliegenden Aufgabe ist es NICHT erforderlich, auf Doppelbrüche überzugehen, wenn man diese vermeiden will. Multipliziere die Gleichungen schon vorher mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Der Ansatz von HAL zielt auf eine normierte quadratische Gleichung ab (Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist 1), damit kann man mittels Vieta den Zusammenhang der beiden Lösungen bereits "sehen" und die "kleine" Auflösungsformel verwenden.
Aber auch Vieta muss nicht unbedingt sein, dann kannst du bei Klauss (oder bei mir) weiterrechnen und die "große" Auflösungsformel ** verwenden:

Damit entsteht die Gleichung $\begin{eqnarray*} \to \ 2b^2c^2 + c(2V - Ob) + 2bV = 0 \end{eqnarray*}$

Vorteil hier: Keine Doppelbrüche

**) $\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \ \to \ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

mY+

17.01.2022, 09:18

klauss

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RE: Quaderberechnung
mYthos besten Dank, da muß ich das vorerst nicht weiter zerreden. Big Laugh

17.01.2022, 09:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Ich weiß zwar nicht genau, auf welcher Schulstufe du dich befindest

Die Frage stellst sich wohl eher nicht mehr (siehe meine obige Anmerkung). Sagen wir Erwachsenen-Weiterbildung bzw. -Auffrischung.

17.01.2022, 22:09

Spender

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Habe es noch mal gemacht, da hat es geklappt mit den Doppelbrüchen, seltsam. Aber gut!

(O-2bc)bc=V(2b+2c) so weit bin ich jetzt.
(O-2bc)bc=V(2b+2c) | -V(2b+2c)
(O-2bc)bc - V(2b+2c) = 0 | Klammern auflösen

Obc-2b²c² - V2b +V2c = 0
-2b²c² + Obc - 2Vb + 2Vc = 0
-2b²c² + Obc + 2Vc - 2Vb = 0
-2b²c² + c (Ob + 2V) - 2Vb = 0

So weit komme ich nun. Aber die Vorzeichen sind andere, warum?

Es dankt
der Spender

17.01.2022, 22:47

mYthos

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Zitat:

Original von Spender
...
(O-2bc)bc - V(2b+2c) = 0 | Klammern auflösen

Obc-2b²c² - V2b +V2c = 0
...

Das sollte nicht mehr passieren! Ein Minus vor der Klammer ändert die Vorzeichenn IN der Klammer.

Also:
(O - 2bc)bc - V(2b + 2c) = 0 | Klammern auflösen
Obc - 2b²c² - V2b $\begin{eqnarray*} \color{red}- \end{eqnarray*}$ V2c = 0

Danach ist eben
-2b²c² + c (Ob - 2V) - 2Vb = 0 | * (-1)
2b²c² - c (Ob - 2V) + 2Vb = 0

So stimmt es dann.

mY+

18.01.2022, 18:58

Spender

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Das ist wahr.
Danke.

Ok, weiter.
Bei der allgemeinen Form, die Mythos aufgeschrieben hat, ist dann mein a die 2b^2 das b ist dann Ob + 2V? Was passiert mit der Klammer? Und das c sind die –2Vb?
Wie würde das dann aussehen, wenn ich es in die pq Formel einsetze?

Es dankt
Der Spender

18.01.2022, 19:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spender
Wie würde das dann aussehen, wenn ich es in die pq Formel einsetze?

Die zugehörige normierte quadratische Gleichung steht seit drei Tagen im Thread:

Zitat:

Original von HAL 9000
dass $\begin{eqnarray*} a,c \end{eqnarray*}$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 - \left(\frac{O}{2b}-\frac{V}{b^2}\right)x + \frac{V}{b} = 0 \end{eqnarray*}$

sind.

D.h. $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=- \left(\frac{O}{2b}-\frac{V}{b^2}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=\frac{V}{b} \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{O}{4b}-\frac{V}{2b^2} \pm \sqrt{\left(\frac{O}{4b}-\frac{V}{2b^2}\right)^2-\frac{V}{b}} \end{eqnarray*}$ ,

was man natürlich auch als

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{Ob-2V}{4b^2} \pm \sqrt{\left(\frac{Ob-2V}{4b^2}\right)^2-\frac{V}{b}} \end{eqnarray*}$

schreiben kann. Am Ende hat man die Lösungen $\begin{eqnarray*} a=x_1,c=x_2 \end{eqnarray*}$ oder aber vertauscht $\begin{eqnarray*} a=x_2,c=x_1 \end{eqnarray*}$ .

19.01.2022, 00:35

mYthos

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Mit der "großen" Formel ist

$\begin{eqnarray*} c_{1,2} = \frac{Ob - 2V \pm \sqrt{(Ob - 2V)^2 - 16b^3V}}{4b^2} \end{eqnarray*}$

mY+

20.01.2022, 21:28

Spender

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Danke erst mal.
Aber mir fehlt noch ein Zwischenschritt.

Wir hatten jetzt
$\begin{eqnarray*} <br /> 2b^{2}c^{2} + c \left(2V- Ob\right) + 2bV = 0<br /> \end{eqnarray*}$
Wie komme ich von da auf

$\begin{eqnarray*} <br /> x^{2} \left(\frac{O}{2b}- \frac{V}{b^{2} } \right) x + \frac{V}{b} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Es dankt
der Spender

21.01.2022, 01:52

mYthos

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Schreibfehler, es fehlt das Minus nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Und auch KEIN x kommt dort, sondern c ist die Unbekannte, nach welcher zu lösen ist!
Und es gilt $\begin{eqnarray*} Ob - 2V = - (2V - Ob) \end{eqnarray*}$
---------

Wenn du die angegebene "große" Auflösungsformel ("abc - Formel") verwendest, brauchst du die normierte Gleichung in der letzten Zeile NICHT.
Du kommst sogleich zu der Lösung wie im letzten Beitrag angegeben.

Ansonsten, also für die p-q Formel, folgt die Division der Gleichung durch $\begin{eqnarray*} 2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^2 + \frac{Ob - 2V}{2b^2}c + \frac V b = 0 \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} p = \frac{Ob - 2V}{2b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = \frac V b \end{eqnarray*}$

mY+

21.01.2022, 11:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Spender

Nochmal zu dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ : Das habe ich bewusst so geschrieben, weil DIESELBE quadratische Gleichung sowohl die Lösungen für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wie für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liefert. (Ich halte das für eine gute Idee, weil man mit einem Aufwasch beide Seitenlängen bekommt, und sich damit nach der Berechnung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nicht auch noch in einer neuen Umformungsrunde um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kümmern muss.) Aber anscheinend kannst du dich mit dieser Betrachtungsweise partout nicht anfreunden, wie auch mit dem damit zusammenhängenden Verweis auf Vieta nicht. Dann tut es mir aufrichtig leid, dich damit belästigt bzw. verwirrt zu haben.

21.01.2022, 14:07

mYthos

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Edit: Tut mir Leid, habe übersehen, dass der vorige Beitrag nicht von Spender war.
@Spender, vielleicht hilft dir es dennoch Augenzwinkern

Ich bin weder verwirrt noch fühle ich mich belästigt. Du verkennst die Lage. Mein Ziel ist ausschließlich, dir zu helfen. Und den Vieta kenne ich und schätze ihn sehr wohl!
Weshalb meinst du, will ich mich nicht damit anfreunden?

Der Vieta'sche Wurzelsatz beschreibt einen Zusammenhang, stellt aber keine Auflösungsformel, sondern einen Kontrollvorgang dar. Kennst du diesen im Detail? Bisher hatten wir den Eindruck eher nicht.

Irgendwie stehst du noch immer auf der Leitung, das zeigen ja auch deine Fragen, aber diese wollen wir ja klären.
Ob du jetzt x oder c für die Variable schreibst, ist egal, denn in jedem Fall bleibt die Rechnung vollkommen gleich und es kommen eben die 2 Lösungen c1 und c2. Wobei das c2 (wegen Vieta) gleich dem dazugehörigen a sein muss, wie es dir HAL auch schon erklärt hat.

$\begin{eqnarray*} c = c_1 \text{ und } a = c_2 \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} a \cdot c = \frac V b \end{eqnarray*}$ , der letzte Ausdruck ist in der normierten Gleichung das q und laut Vieta gleich $\begin{eqnarray*} c_1 \cdot c_2 \ \text{bzw. }x_1 \cdot x_2 \end{eqnarray*}$

mY+

21.01.2022, 14:18

HAL 9000

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Die Ansprache ging an Spender - ich denke, das habe ich sehr deutlich kenntlich gemacht. Dass du das mit Vieta verstehst, habe ich zu keinem Zeitpunkt bezweifelt. Augenzwinkern

21.01.2022, 14:26

mYthos

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Huch, da habe ich nicht genau geschaut, meine Nachricht war ebenfalls für Spender bestimmt! Augenzwinkern

(Hab' mich eh schon gewundert ..)
Nichts für ungut!

mY+

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Quaderberechnung

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