[Klassenkörpertheorie] Verzweigungen

15.01.2022, 17:18

Malcang

[Klassenkörpertheorie] Verzweigungen

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich aktuell mit folgenden Aufgaben:

Zitat:

Betrachte die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5}, \mathrm{i})\subset\mathbb Q \end{eqnarray*}$
Welche Primzahlen sind verzweigt? Bestimme $\begin{eqnarray*} r,e,f \end{eqnarray*}$ für jede Primzahl p.

und

Zitat:

Betrachte die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5}, \mathrm{i})\subset\mathbb Q(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$
Welche Primzahlen sind verzweigt? Bestimme $\begin{eqnarray*} r,e,f \end{eqnarray*}$ für jede Primzahl p.
Welche Primideale von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ sind verzweigt?
Bestimme $\begin{eqnarray*} r,e,f \end{eqnarray*}$ für jede Primstelle p. Welche Primstellen sind zerlegt und welche träge?

Ich tue mir immer wieder schwer mit dieser Art.
Zu ersten Aufgabe:
Meine Intuition ist, dass ich mir die quadratischen Erweiterungen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5})\subset \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\mathrm{i}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5})\subset\mathbb Q \end{eqnarray*}$ anschaue. Damit sollte ich auf diejenigen der großen Erweiterung schließen können.
Der Grad der Erweiterung ist $\begin{eqnarray*} 4, \end{eqnarray*}$ also wird für jede Primzahl p die Gleichung $\begin{eqnarray*} r\cdot e\cdot f = 4 \end{eqnarray*}$ gelten.
Aber wie gesagt, mir fällt das immer wieder aufs Neue schwer, hier einen passenden Ansatz zu finden bzw. weiterzugehen.

Möchte mir jemand den Kopf geraderücken? smile

15.01.2022, 18:52

Elvis

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Quadratische und biquadratische algebraische Zahlkörper sind nicht Teilkoerper der rationalen Zahlen sondern Erweiterungskoerper.
Verzweigt sind genau die Diskriminantenteiler, welche Primzahlen zerlegt oder traege sind, hatten wir schon einmal diskutiert. (Nach Einzelheiten zu fragen bringt im Moment nichts, weil ich noch mehr als eine Woche ohne meine Bibliothek überstehen muss.)

16.01.2022, 20:11

Malcang

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Hallo Elvis,

danke für deine Zeit.
Also da $\begin{eqnarray*} -5\equiv 3\pmod 4 \end{eqnarray*}$ , ist die Diskriminante $\begin{eqnarray*} D = 4\cdot(-5) = (-1)\cdot2^2\cdot5 \end{eqnarray*}$ .
Also sind 2 und 5 verzweigt.
Danke schonmal dafür. Ich krame gerade den alten Thread nochmal heraus und lese mich dort nochmal ein.

Edit:
$\begin{eqnarray*} (\frac{-5}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$ , also ist -5 quadratischer Rest modulo 2 und damit ist 2 zerlegt.
$\begin{eqnarray*} (\frac{-5}{5}) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit quadratischer Nichtrest, also ist 5 träge.

17.01.2022, 09:24

Elvis

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Gleichzeitig verzweigt und träge geht nicht. Diskriminantenteiler sind verzweigt, die anderen Primideale sind entweder zerlegt oder traege.
Wenn du Zeit und Lust hast, dann studiere David Hilbert "Über den Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper". Zu finden ist das Buch in Hilberts Gesammelten Abhandlungen, Band 1, Zahlentheorie im GDZ (Göttinger Digitalisierungs-Zentrum). "Von Hilbert lernen heißt Zahlentheorie verstehen.") Wenn du jetzt keine Zeit hast, dann hast du erst in 50 Jahren Zeit dazu, und es ist nicht sicher, ob du ihn dann noch verstehen wirst. Augenzwinkern

17.01.2022, 12:21

Malcang

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Guten Morgen Elvis,

ich erlaube mir mal deinen Beitrag aus dem anderen Thread hier zu zitieren.

Zitat:

Original von Elvis
Habe schnell mal bei Neukirch nachgeschaut und komme auf die Zerlegung der Primzahlen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt {1 0}) \end{eqnarray*}$
(1) Diskriminantenteiler 2 und 5 sind verzweigt, $\begin{eqnarray*} 2=r^2, N(r) =2,5=s^2 ,N(s)=5 \end{eqnarray*}$
(2) Primzahl p zerlegt gdw 10 quadratischer Rest mod p
(3) Primzahl q träge gdw 10 quadratischer Nichtrest mod q
(2) gdw p=xy, x und y Primideale mit Norm p
(3) gdw q=x, x Primideal mit Norm q^2

Also unabhängig von der Klassenzahl (hier 2) bestimmt die Diskriminante das Zerlegungsverhalten in quadratischen Zahlkörpern vollständig. Für deine Frage heißt das, dass n keine Norm eines Ideals ist gdw eine Primzahl q (siehe 3) mit ungerader Potenz in n enthalten ist.

Zur Berechnung der Fälle (2) und (3) benutzt man das quadratische Reziprozitaetsgesetz.

Ich bleibe mal bei den Verzweigungen. Betrachte $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$
Die Teiler der Diskriminante sind 2 und 5. Diese sind also verzweigt.
Der Grad der Körpererweiterung ist 2, also ist $\begin{eqnarray*} r \cdot e\cdot f = 2 \end{eqnarray*}$ . Da die Primzahlen verzweigt sind, gilt jeweils $\begin{eqnarray*} e=2 \end{eqnarray*}$ für jede dieser Primzahlen und damit auch jeweils $\begin{eqnarray*} r = f = 1 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-1}) \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} -1\equiv 3\pmod 4 \end{eqnarray*}$ ist die Diskriminante $\begin{eqnarray*} D=-4 \end{eqnarray*}$ und damit ist nur $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ verzweigt. Auch hier wieder $\begin{eqnarray*} e=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=f=1 \end{eqnarray*}$ .

17.01.2022, 16:12

Elvis

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Du darfst quadratische und biquadratische Zahlkörper nicht verwechseln. Die ersteren sind wesentlich einfacher als die letzteren. Lies Hilbert, wenn du lernen, verstehen und wissen willst. Oder forsche selbst, wenn du kannst.

17.01.2022, 16:24

Malcang

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Ich verstehe gerade den Kontext nicht. Ich habe doch in meiner bisherigen Ausführung (Beitrag #5) nur quadratische Zahlkörper betrachtet. verwirrt

21.01.2022, 19:46

Malcang

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Hallo nochmal Elvis,

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ genau dann zerlegt, wenn $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ein quadratischer Rest mod p ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} p\equiv 1\pmod 4 \end{eqnarray*}$ . Für diese $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt jeweils $\begin{eqnarray*} r=2, f=1. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} p\equiv 3\pmod 4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f=2, r=1. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ genau dann zerlegt, wenn $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ ein quadratischer Rest mod p ist. Mit dem Legendre-Symbol ist $\begin{eqnarray*} (\frac{-5}{p}) = (\frac{-1}{p})\cdot (\frac{5}{p}) \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{p}) = 1 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} p\equiv 1 \pmod 5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p\equiv 4 \pmod 5 \end{eqnarray*}$ .
Es bietet sich also an, den chinesischen Restsatz zu bemühen.
Für $\begin{eqnarray*} p\equiv 1,3,5,7 \pmod{20} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zerlegt und für $\begin{eqnarray*} p\equiv 11,13,17,19\pmod {20} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ träge.

ich habe nun für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-5},i) \end{eqnarray*}$ einiges herausgefunden.
Bis auf $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ sind alle Primzahlen unverzweigt.
Mit den obigen Ergebnissen folgere ich:
Die trägen Primzahlen sind modulo 20 kongruent zu 1 oder 9 und alle anderen sind zerlegt.

Was sagst du dazu?
Und wie komme ich bei 2 und 5 weiter?

22.01.2022, 08:41

Elvis

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Die Hilbertsche Theorie der algebraischen Zahlkörper geht von galoisschen Erweiterungen der rationalen Zahlen aus. Das kann man stets machen, weil man ja immer zur galoisschen Hülle, das ist die kleinste galoissche Erweiterung, übergehen kann. Hier haben wir bereits einen galoisschen, sogar einen abelschen Zahlkörper vom Grad 4 (es gibt keine nichtabelschen Gruppen der Ordnung 4). Die Galoisgruppe ist nicht zyklisch, weil wir schon 2 Teilkoerper vom Grad 2 kennen, also gibt es einen dritten quadratischen Teilkoerper $\begin{eqnarray*} ( \sqrt {-1}\sqrt {5}=\sqrt {-5}) \end{eqnarray*}$ , und die Galoisgruppe ist die Kleinsche Vierergruppe V4.
Hilbert hat den Zusammenhang zwischen Galoisgruppe und Arithmetik von Zahlkörpern untersucht und insbesondere die Zerlegung von Primidealen durch Untergruppenreihen der Galoisgruppe dargestellt. Studiere Hilbert für galoissche Zahlkörper und Hasse für abelsche Zahlkörper, dann wirst du weniger Probleme mit der Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts haben (die Zahlentheorie des 21. Jahrhunderts kenne ich auch noch nicht, die musst du selbst machen).

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