[WS] Trigonometrie

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[WS] Trigonometrie
Inhaltsverzeichnis:

  1. Verhältnisse
  2. Die Funktionen
  3. Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
  4. Die Tangensfunktion im Einheitskreis
  5. Die Additionssätze
  6. Allgemeine Dreiecksberechnung
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Verhältnisse
Wenn die Winkel rechtwinkliger Dreiecke übereinstimmen, so sind auch die Verhältnisse gleich.
Also gilt:


 
 
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Die Funktionen
Bei einem rechtwinkligen Dreieck werden die beiden Seiten, die neben dem rechten Winkel liegen Katheten genannt, die gegenüberliegende Seite Hypotenuse. Für die Trigonometrie muss ein Winkel festgelegt werden (den wir im Folgenden mit bezeichnen). Nach ihm sind dann die beiden Katheten als Ankathete (am Winkel) und Gegenkathete (halt nicht am Winkel) definiert.

Es gilt:





Lies:
Sinus von Alpha
Kosinus von Alpha
Tangens von Alpha

Nur dadurch, dass bei jedem Dreieck mit den gleichen Winkeln die Längenverhältnisse gleich sind, kann man dies definieren.

Bsp.:
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Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
Die Funktionen Sinus und Kosinus werden so für alle Winkel definiert:
Jeder Winkel mit der positiven x Achse als ersten Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel einen Punkt P auf dem Einheitskreis. Man legt damit fest:
Die x- Koordinate des Punktes P ist . Die y-Koordinate .


Dabei gilt:


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Tangensfunktion im Einheitskreis
Die Funktion Tangens wird so für alle Winkel mit definiert: Jeder Winkel mit der positiven x-Achse als erstem Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel einen Schnittpunkt P mit der Tangente an den Einheitskreis im Punkt A (1|0):
Man legt fest:
Die y-Koordinate des Punktes P ist .


Für alle Winkel mit gilt:




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Die Additionssätze
Um zwei Winkel zu einer Funktion zu addieren muss man die Additionssätze anwenden:






(Der Beweis dazu)
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Allgemeine Dreiecksberechnung
Man kann Sinus und Kosinus auch ohne rechten Winkel in begrenztem Maß anwenden:

Es gilt nämlich für jedes Dreieck:







(Der Beweis dafür)
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