[WS] Trigonometrie

22.10.2003, 21:19	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Trigonometrie Inhaltsverzeichnis: Verhältnisse Die Funktionen Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis Die Tangensfunktion im Einheitskreis Die Additionssätze Allgemeine Dreiecksberechnung
22.10.2003, 21:20	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Winkel rechtwinkliger Dreiecke übereinstimmen, so sind auch die Verhältnisse gleich. Also gilt: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \, ; \, \frac{b}{c} = \frac{b'}{c'} \, ; \, \frac{c}{a} = \frac{c'}{a'} \end{eqnarray}$
22.10.2003, 21:25	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einem rechtwinkligen Dreieck werden die beiden Seiten, die neben dem rechten Winkel liegen Katheten genannt, die gegenüberliegende Seite Hypotenuse. Für die Trigonometrie muss ein Winkel festgelegt werden (den wir im Folgenden mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bezeichnen). Nach ihm sind dann die beiden Katheten als Ankathete (am Winkel) und Gegenkathete (halt nicht am Winkel) definiert. Es gilt: $\begin{eqnarray} \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \end{eqnarray}$ Lies: Sinus von Alpha Kosinus von Alpha Tangens von Alpha Nur dadurch, dass bei jedem Dreieck mit den gleichen Winkeln die Längenverhältnisse gleich sind, kann man dies definieren. Bsp.: $\begin{eqnarray} \tan(45^{\circ}) = 1 \, ; \, tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \end{eqnarray}$
22.10.2003, 21:25	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktionen Sinus und Kosinus werden so für alle Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ definiert: Jeder Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit der positiven x Achse als ersten Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel einen Punkt P auf dem Einheitskreis. Man legt damit fest: Die x- Koordinate des Punktes P ist $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ . Die y-Koordinate $\begin{eqnarray} \sin(\alpha) \end{eqnarray}$ . Dabei gilt: $\begin{eqnarray} \sin(- \alpha) = - \sin(\alpha) \, ; \, \cos(- \alpha) = \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) = \sin(\alpha - 90^\circ) \, ; \, \sin(\alpha) = - \cos(\alpha + 90^\circ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray}$
22.10.2003, 21:26	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion Tangens wird so für alle Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \neq 90^\circ + z \cdot 180^\circ \, , \, z \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ definiert: Jeder Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit der positiven x-Achse als erstem Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel einen Schnittpunkt P mit der Tangente an den Einheitskreis im Punkt A (1\|0): Man legt fest: Die y-Koordinate des Punktes P ist $\begin{eqnarray} \tan(\alpha) \end{eqnarray}$ . Für alle Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \neq 90^\circ + z \cdot 180^\circ \, , \, z \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \tan(\alpha) = \tan(\alpha + z \cdot 180^\circ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \tan(\alpha) = \tan(- \alpha) \end{eqnarray}$
22.10.2003, 21:29	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zwei Winkel zu einer Funktion zu addieren muss man die Additionssätze anwenden: $\begin{eqnarray} \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) \pm \cos(\alpha) \sin(\beta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan(x + y) = \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1- \tan(x) \tan(y)} \end{eqnarray}$ (Der Beweis dazu)
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22.10.2003, 21:32	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Dreiecksberechnung Man kann Sinus und Kosinus auch ohne rechten Winkel in begrenztem Maß anwenden: Es gilt nämlich für jedes Dreieck: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} \, ; \, \frac{b}{c} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)} \, ; \, \frac{a}{c} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \end{eqnarray}$ (Der Beweis dafür)

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